Équations' de la cycloïde. — A étant la position

initiale du point décrivant M, on a CEM = GA. De là résulte que, si Ton repré- - sente par a le rayon, et par 6 la mesure de TangleCOM:

x=AC — CP==ae — asino, y = PRH-RM=a — acoso;

x = a(e — sine), y = a{i — cos b).

Ces formules peuvent servir à discuter et à construire la courbe. Elles donnent

cos B = 2., sin 0 s= d: —y/^iay — y* (*);

puis

x = a. arc cos

»/5Jay - y' (*).

(*) Si le point M est compris outre les sommets A, B, l'arc 0 esi moindre que r : on doit donc, dans ce cas, adopter les signes supérieurs. Au contraire, si M est au delà du sommet B, on a

e>;r, srnO<0;elc.

CYGEOÏDE ET ÉPICYGLOÏ]>ES. 501

m. Tangente et normale. — On a

da; = a(i — cos0)da<=Sa8in*-6c(9, dyssasinOde; (4)

par conséqueût

dy sina i '

Si Ton trace la corde MD :

MD0 = ~9, ig FDM = 601 -a;

donc MD est la tangente. Par suite, 7a droite MG, qui joint le point décrivant au point de contact G , es^ /a normale.. Cette propriété subsiste pour toutes les Roulettes, résultant du roulejnent d'une ligne sur une ligne fixe. )iS4« Longueur de l'arc. — On tire, des équations (4),

d«' = 2a* (i — cos a) cto* = 4o' sin»-o.de';

ds = 2asm^Bde. (6)

Cette valeur de ds prouve que

« = C — 4a cos — a.

Si Ton prend le sommet A pour origine des arcs, la constante G est déterminée par la condition

AM = « = 4a (l — cos- aj. (7)

Ainsi, la cyckide est une courbe rectifiable. Si Ton repré-

CALCUL BIFFËRENTIEL.

sente par / la longueur de la cycloîde entière , on a done,

en faisant 6=2^9

la longueur de la cycldXde égale quatre fois le diamètre au cercle générateur.

98ft. Remarques. — I. Soit B le sommet , déterminé par 6=7r : il résulte, des formules (7) et (8), que

arc MB =s 4a cos - 0.

Mais 9 dans le triangle isoscèle MDO »

in)==3acos^o;

donc

arc MB = S . corde MD. (9)