Points multiples. — On appelle point multiple

celui où se coupent divers arcs. En un pareil point, la courbe admet plus d'une tangente.

Soit, par exemple,

Si Ton prend les deux formules :

on voit que, pour x = 0, yi^:=y^=zl. D'ailleurs, de x = — 6 à arc=3-f-e, y, croît et yj décroît. Il y a donc deux arcs qui se coupent en B. En outre :

^îfi ■ • r ^ dVi • / *

-p=i/x-»-i-+- — — z=» -pî=— l/âm ■ ;

«^ al/x^TT «* 2V/îcTT

(*) Ce chapitre De contient que de simples notions. Pour la ihéorie complète des points singuliers, le lecteur peut consulter une remarquable Thèse de M. Briot {Journal de LiowHUe, tome X).

POINTS SINGULIERS DES GOURDS PLANES. 5H

et, pour a;=0 :

dx dx

9ftO. Soit

réquation de la courbe : nous supposons que le premier membre est un polynôme entier. En un point quelconque, où la tangente est uniqtœ, elle est déterminée par

dy dx ^

dx^~df* dy

ce qui exige que les deux termes de la fraction ne soient pas nuls simultanément. Au contraire, pour un point multiple, on doit avoir, en même temps,

Si le point est double, les coefficients angulaires des deux tangentes sont déterminés par Téquation

dx* dxdy dx \dxdy dy* dxl dx

uu

dy* \dx) dxdy dx dx*

dont les racines doivent être réelles et inégales. Si, avec les relations (2), on a encore

ip-">- érr'- ^'"" <*'

e'est-à-dire si les valeurs de x , y, qui satisfont aux équa-

tions (2), annulent les trois dérivées du second ordre, réquation (3) devient identique; le point singulier est ordinairement triple^ réquation (3) est remplacée par

rfy» \dx/ dy^dx \dxl dydx" \dxl d^ ' ^ '

cette équation doit avoir ses racines réelles et inégales. Ainsi de suite.

9ftt. Applications. — I.

Les équations (3) sont vérifiées par x=^, y=0. L'équation (3) devient, à cause de ces valeurs,

dr df

IL X*— x«y-Hy»=0, -/- = 4x' — 2yx, -L= — a:»^-3y»:

ux dy

Torigine est peut-être un point multiple. Prenant les dérivées secondes, on trouve

d*/* d^f dT

Pour x=0, y=0, Téquation (3) devient identique : formons réquation (5). A cause de

^=:24x, j:^j- = — 2, 1— r-î=0, -r4=6, rfx» dx'dy dxdy" ' dy*

cette équation est

\dxl dx n Cet exempte a été traité ci-dessus (tâ9).

POINTS SINGULIERS DES COURBES PLANES. 515

Conséquemmenty

dx ^ dx

Torigine est un point triple,

9&!t. Points de rebroussement. — On appelle ainsi les points où deux branches de courbe s'arrêtent, de manière à rester d'un même côté de la normale en ce point.

Le rebroussement est de première espèce quand la tangente commune est entre les deux arcs : dans le cas con* traire, il est de seconde espèce.

Soit

Tabscisse ne peut être négative; de plus, lim |=^0. Enfin, quand x est moindre que 1, les deux valeurs de y sont positives. Il y a donc, à Torigine, rebroussement de seconde espèce.

•58. Si, dans Téquation (l)» x est regardé comme un paramètre variable, deux des valeurs de y doivent, pour le point cherché, devenir égales entre elles. D'après la théorie des racines égales (Alg., SIA), on a, pour ce même point.

En outre,

dl

dx

sans quoi la tangente au point de rebroussement serait parallèle à Taxe des ordonnées ; ce qu^on peut ne pas supposer. Si Ton élimine y entre les équations (1), (6), on arrive à une relation

fW = 0, (7)

514 GALCUi DIFFÉREHTISi.

donnant les valeurs de x auxquelles répoodwt 4eia valeurs égales de y.

Soit a une racine de cette équation (7). Si, quand x varie de a — e à a-4-eyIa fonction <f(x) change de signe, i7 peut y avoir rebrotissement au point dont 1 abscisse est a. II taux, en outre, que Téquation (3)^ soit vérifiée par des valeurs réelles et égales dç ^; ce qui donne la coodilioa

\dxdyi dx' dy' 9ft4* Application :

(y'-.OrV — ^ar(x— 1)» = 0. (8)

Les équations (2) sont

Ces trois équations sont vérifiées par x »» 1 , y »= 1 . De plus, pour ces valeurs, Téquation (3) devient

Enfin, sans quMl soit besoin de former la fonction f (x), ou reconnaît, à l'inspection de Téquation (8), qu*on ne peut supposer x == i — e. En résumé, x = 1, y = 1 sont les coordonnées d'un point de rebroussement.

)ift5. Points anguleux. — Si deux branches viennent se terminer en un même point , de manière que leurs tangentes soient différentes , on donne à ce point le nom de point anguleux : le point de rebroussement en est un caslimite.

POINTS SINGULIERS DES COURBES PLANES

Soit, par exemple.

Suivait que x est positif ou négatif, lim | «= 0 ou 1 .

Ainsi, la courbe a la forme indiquée ci-eontre : rorigiiie est un point anguleux.

)M4^ Paint» d'arréi. -^ Ua point d*arrét est celui où une branche de courbe s'arréêe brusquement L'éqo»tion

représente une courbe qui a deux points d*arrét, appartenant à Taxe des ordonnées , et syaiétriquement placés par rapport à Torigine (*).

969. Théorème. — Une courbe algébrique ne peut aooir nt point d'arrêt ni point anguleux»

Soit F (x, y) = 0 réquation de la courbe, F étant un polynôme entier. Si Ton regarde x comme un paramètre variable, et que pour x=> — s, une valeur de y soit imaginaire, cette valeur n'est pas unique : il y en a une seconde, conjuguée de la première. Pour x = X, ces deux valeurs

de y deviennent égales ; et, pour x^=^'he, elles sont réelles et inégales.

Ainsi, un point-limite A est toujours celui où se raccordent deux arcs AB, AC. Celte simple remarque prouve la première partie du théorème.

(*) L*équalioQ n*élant ivas altérée quand xeiy changent simaltanémenl de signe, Torigine est un centre de la courbe.

Relativement à la seconde , observons que

dV dy dx

La fraction a ses termes entiers; donc elle ne peut devenir discontinue qu'en passant par Tinfini (*). . 9ft9. PoinU ùolés. — Un point isolé est celui où ne passe aucun arc de la courbe, et dont les coordonnées vérifient cependant Téquation de celle-ci.

L'équation (x* -t- y')' = a'x' -h ft'y', qui représenie la podaire de rellipse, relativement au centre, est vérifiée par x=3 0, y»=0 : Torigine est un point isolé.

MB9. Remarque. -^ Quand on cherche la podaire d'une courbe, relativement à un point donné, on trouve souvent, comme dans Texemple précédent, que celui-ci est un point isolé, dont les coordonnées satisfont à l'équation du lieu. Il en est ainsi, en particulier, pour la podaire de l'ellipse, relativement à Tun des foyers. La solution de ce problème, bien simple (**), conduit à un résultat singulier et remarquable : chaque foyer se comporte comme une tangente dont le coefficient serait V — 1.

L x* H- j/* — 2x«î/ — 2x V -+- y' == 0 {point triple). IL x^ — 2y' — 3y* — 5x*-»- 1=0 (trois points doubles).

!"• y = ÛT^ "*■ TÏÏ^' y^^ (P^***** d'arrêt).

(*) On peul voir, dans la Nouvelle Correspondance mathématique (lome I, p. 176), uoe autre démonstration de ce théorème.

{**) On sait que, dans ce cas, la podaire est la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre (p. 3S1}.

IV, y = X arc tg ^ (point angtdeux).

V. w' — 3wcos'tt>-i-2cos'<a=0, m' — SttcosG)H-2=0 (points isolés).

^'' ^ = gj^l!l^» (/^'^^ double, points d'inflexion, point de rebroussement).

Vil. j/S =r= X sîn^ X (une infinité de points doubles et de points isolés).