CHAPITRE XIX

K Une ligne à double courbure, ou ligne non plane, rapportée à trois axes reclilignes^ rectangulaires pour plus de simplicité, est complètement déterminée si Ton se donne deux équations entre les coordonnées x, y, j; de chacun de ses points. Le plus souvent , ces équations sont

(*) Les quatre derniers exemples sont dus à M. Plateau, Pillustre pbysicleo aveugle. {Bulletins de F Académie de Belgique, 1877.)

518 GàLCDL DIFFÉRENTIEL.

celles de deux des projections de la courbe, c>sl-à-dire qv^elles se réduisent , par exemple » à

••l. Remarque. — L'équation (1) appartient, non^eulement à une courbe située sur le plan zx, noais encore à un cylindre ayant cette courbe pour directrice, et dont les génératrices sont parallèles à Taxe Oy. De même, Téquation (^) représente une surface cylindrique, parallèle à Ox.

let. Plus généralement , la courbe à double courbure proposée peut être définie par les équations de deux surfaces dont elle est Tintersection ; savoir :

MIS. Enfin , si Ton regarde la courbe comme la trajectoire d'un point mobile, on peut supposer que Ton donne les valeurs de x, j^, z en fonction d'une variable indépendante t : les équations précédentes sont alors remplacées par

^=/i('), y^m. ^=/iW. (S)

Ce troisième système conduit, en général, à des formules dans lesquelles x, j/, z entrent symétriquement; ce qui n'a pas lieu quand on adopte les autres modes de repréaentation.

MMraBllelle ée Tare.

9S4« La démonstration doimée pour les courbes planes s'applique aux lignes à double courbure. Conséquemmenc,

d«« = dx«-Hdy«-^rfz«, (6)

quelle que soil la variable indépendante.

DES LIGN&d A DÔttoLË COVBBURE. 519

u On démontre y en Géométrie , que la pfûjtttion de la iangmte à une courbe est tangente à la projection de la courbe. D'après cela, si la courbe est déterminée par les équations (1), (2), les équations de la tangente sont

ou, sous une forme plus symétrique :

X—x Y — y Z — z dx dy dz

Dans le cas plus général des équations (3), (4), on tire,

de celles-ci :

dF dx dF dy ^ f.

dx dz dy dz dz ' . ,

) (9) dF,dx rfFjrfy ^o

dx dz dy dz dz

Nous devrions donc, pour trouver les équations de la tangente, résoudre les équations (9) par rapport à ^' ^; puis substituer, dans les équations (7), les valeurs trouvées. Mais il est équivalent, et beaucoup plus simple, d'opérer d'une manière inverse en substituant, dans les équations (9), les valeurs de ^' ^, tirées des relations (7). On trouve ainsi :

dF dF dF

dFi ^ dF, dF»

S20 GÀL€CL DIFFÉRENTIEL.

L Remarque. — Pour une raison que nous donnerons bientôt, chaeun de3 plans représentés par les dernières équations est appelé plan tangent à la surface correspondante.

)M9. Angtes de la tangente avec les axes. — Si la courbe est représentée par les équations (5)9 les équations de là tangente sont

dx dy dz

Or, a, (^9 7 étant les angles dont il s'agit, on a :

cos a

COS j3

cosr

COS a

cos|3

cosr

c'est-à-dire :

dx dy dz *

et enfin , par la relation (6) :

dx dy dz

cosa = -7-« cos fi = -~» cosr=-T— (i5)

a« ^ os ds

MBS. Dorénavant, nous représentons par a, 6, c les

cosinus directifs de la tangente; de manière que nous aurons :

dx dy dz

ds "^ ds ds

B«rai«i«

u Ce plan est celui qui est perpendiculaire à la tangente, au point de contact. Il a donc pour équation

Anyle de eontlngenee.

no. Pour calculer 1 angle e, formé par les tangentes en deux points de la courbe, infiniment voisins (ttt), nous rappellerons d*abord deux formules de Géométrie analytique.

i** Soient a^ 6, c les cosinus directifs d'une droite D; et a', b', c' les quantités analogues , relatives à une seconde droite D'. Soit Y Tangle des deux droites. Des relations connues :

cosV=aa'-*-66'H-cc', a«-f-6"-*-c'=1, a'«-*-6'*-hc''=J (*),

on déduit

sin» V= i — (oa' H- 66' H- 1(!)\ ou(**)

sin* V = (a« -*- 6* H- e) (a'' -4- 6" + c") — {ad + 66' -4- €(/)';

ou enfin

^. sin«Vs=(6c'-Hî6')»-*-(ca'-Hïc')»-*.(a6'-6a')«.(A)

^T4 2" On a aussi, en prenant 0A=0A'=1, et en joignant Torigine au milieu M de AA':

sin 1 V=il/(a'— a)«-*-(6'— 6)V(c'— c)\ (B)

^ ^Jl

Si Fangle Y est infiniment petit, a'=:a+da, 6'=6-i-d6, c'^s^c-^-dCy ab' — ha!^=adb — bda^ etc.;

(*) Manuel des Candidats, tome II, pp. 10, 11. (**) Si on laissait le second membre sous la forme

on ne pourrait le décomposer en une swmm de trois carrés. €*est pour arriver k ce remarquable résulut, que Von remplace l'unité par

(a« + 6» -♦- c*) (a'> H- ft'» H- c'«).

5S2 CàliCUL DIFFÉRENTIEL.

donc y en négligeant un infiniment petit du troisième ordre («) :

ip = {bdc — cdby'h{cda — ade)*-^(adb — bda)\ (k)

Dans le cas où la droite OA est parallèle à la tangente d'une courbe, au point (x, y, z) :

dx , dît dz

donc, par la formule (B') :

£» = da«^d6'-*-dc«. (16)

99t. M. de Saint-Venant a donné ce nom à la droite perpendiculaire à deux tangentes consécutives. Pour la déterminer en direction, remarquons d^abord que, si ^ m, n sont les cosinus direcUfs d^une perpendiculaire à deux droites OA, OA', on a, en conservant les notations employées ci-dessus :

al + 6m + cn = 0, a'/-4-6'f»-*-c'n = 0, P-+-m'-4-n'=i.

On satisfait à ces équations en prenant

b& — cb'~ea' — ac''^ab'-'ba'^ sinV"

Gonséquemment, si les droites sont deux tangentes consécutives :

bdc — edb cda — ode adb — bda e

999. Remarque. — De même que la biaormale est perpendiculaire à deux tangentes consécutives, la tangente eit perpendiculaire à deu^ binormales consécutives.

DES LIGNES A DOCBLE COUHBURE.

Cette proposition, à peu près évidente par la Géométrie,

résulte aussi des calculs précédents.

Quand on passe du point M de la courbe, au point infiniment voisin M', Péquation

a/ -4- 6m -♦- en = 0,

mise sous la forme

donne

les accents désignant des dérivées (*).

La seconde somme est nulle, parce que la binormale est perpendiculaire k la tangente M'T' (tvi) : donc

et, par conséquent,

Or, /-4-(l/, m-hdmj n-^-dn sont les cosinus directifs de la binormale M'N'; a, 6, c sont les cosinus directifs de la tangente MT ; donc , etc.

FIftB oaclilstoflir*

tifx. Le plan osculateur à une courbe AB, en un point M, est la limite vers laquelle tend le plan passant par la tangente MT et la sécante MM'S, lorsque le point M' se rapproche indéfiniment du point M. On peut le regarder

(*) La Tariable iDdépendante, qui peut être quelcooque, est, ordinairement, Parc AM = s.

CALCUL DIFFÉRENTIELé

aussi comme la limite du plan TMR, parallèle à la tangente . MT' : en effet, Tangle SMR est inflniment petit; donc les deux faces TMS, TMR tendent à se confondre.

tVA. Équation du plan osculateur. — La perpendiculaire au plan TMR est, à la limite, la binormale; donc réquation du plan osculateur est

aiM^le.

)i9ft. Cette droite est la normak située dans le plan osculateur. Or, toute normale est contenue dans le plan normal; donc la normale principale est représentée par le système des équations

o(X— a:)-4-6(Y — y)-fr-c(Z — z) = 0, (45) /(X — x)-4-m(Y — y)-+-n(Z — z) = 0; (19)

ou par les proportions

cm — bn an — cl bl — am

tve. Remarques. — L En négligeant un facteur commun, on peut, en vertu des formules (17), remplacer le conséquent cm — bn par

c (co' — ac') — 6 (afc' — 6a') = (6* h- c') o' — (66' -4- ce') a = (o« ^ 6' -f. c*) a' — (aa' -♦- 66' -*- ce') o = o'.

Ainsi, les équations de la normale principale sont, si Ton veut ,

II. Si f, g, h sont les cosinus directifs de cette droite, on a 9 par les proportions (20) »

cm — 6» an — cl hl — atn puis» par la formule (16) et les proportions (21) :

i^=l = * — fl a! b' c' "" f '