NOTIONS SUR LES SÉRIES
PrélimliiaireM.
!• On appelle série une suite indéGnie de termes procédant suivant une loi déterminée.
D'après eette définition, Ton doit toujours pouvoir calculer un terme de rang donné, soit directement, soit au moyen de ceux qui le précèdent (*). Autrement dit, si les termes d'une série sont désignés par
f|, Ui, tl5, t/„,
I le terme général u^ est fonction de n.
{*) Par exempte, le vingt-neuvième terme de la progression
3, 7, il, 18,
peut être obtenu , soit directement, au moyen de la formule t/„s=3+ 4{n — 1 ) , soit par des additions successives.
s ALGÈBRE.
M. Diverses espèces de séries. — Désignons par S„ la somme des n premiers termes d'une série; savoir :
Cette somnie, aussi bien que u„y est une fonction de n. Cela posé, il peut se présenter trois cas :
1 " Si la somme S„ des n premiers termes tend vers une limite finie et déterminée S, lorsque le nombre n croît indéfiniment, la série est dite convergente;
2" Dans le cas contraire, c'est-à-dire gwand la sommeS,, peut croître (en valeur absolue) au delà de toute limite, on dit que la série est divergente;
3® Enfin, s'il arrive que la somme S„, sans croître au delà de toute limite, n'ait pas de limite déterminée, la série n'est ni convergente ni divergente : on lui donne le nom de série indéterminée (*).
Par conséquent : 1 ^ une progression par quotient, illimitée et décroissante, est une séiHe convergente;^^ une progression par quotient, illimitée et croissante, est une série divergente; 3° la progression
-\- i, - 1, -4- iy —1, -4- I, ...,
dont le terme général est ( — 1)"^*, constitue une série indéterminée ; car S„ égale 1 ou 0, suivant que n est impair ou pair.
Les séries convergentes sont les seules qu'il soit utile do
(*) La plupart des auteurs font rentrer celle troisième espèce de série dans la catégorie des séhe.s divergentes. Celle classiGcalion nous paratl conlraire à rétymologie et à la signification habiluelle du moi divergent. La dénoininatiou de séné indéterminée a été proposée par M. L. Olivier. (Journal de C relie, t. IL)
considérer (*). En conséquence, nous allons indiquer quelques-uns des caractères au moyen desquels on peut, dans certains cas, reconnaître qu'une série proposée est ou n'est pas convergente.
(*) Il y a plus; les expressioos : limite d'une série, somme (F une série, reste cTune série, n'ont aucun sens, lorsque la série nVst pas convergente. On peut donc s*élonner que de savants géomètres aient énoncé les propositions suivantes :
I «^i I i I I -i ^ {LsiCroiXy Calcul intégral, X.IU,
1^2h-3 — 4-t-5 — 6-^ . . . =-(/6id.);
cofif-cos2p-»-cos3f cos4f-*- polytechnique, t. XI, p. 313);
j j-^i-l^-l-l-t-. . . = (Prehn , /. de Crelle, t. XLI);
I I cj. . V - 4« -I- 3* - 6« -♦- =0 (Simonof , Mémoire sur les sé- 1 - T-u -r -T- . . ^-^^ ^^g nombres aux puis-
eic. San ces harmoniques);
A propos de la première formule, on peut faire les remarques suivantes :
X étant une fraction proprement dite, on a
et, par le changement de a; en — a; : «
= I —a? v X* ~œ^-\ — ±a;"-*qp--
Ainsi, X étant moindre que Vunité, la somme S„, des n premiers termes du second membre, a pour limite —^• Mais, si Ton suppose a;= i, la série devient
la somme S„, aiiernaiivemeiil égale à 1 et à 0, ne tend vers aucune limite; et, eh consé(|uence, la formule dout il s'agit esl absurde. Laplace raiiporie {Introduction à la théorie des Probabilités) que le
Théorèmes sur la emnrergemee»
S. Théorème I. — Dans toute série convergente^ le terme général a pour limite zéro.
Désignons par S la limite \ci*s laquelle tend la somme S, des n premiers termes, et par R„ le reste de la série; en sorte que
Changeant n en n — 1 , nous aurons
On conclut, de ces deux équations,
S„-S,.-hR„ — R.. = 0,
ou
ti„-*-R„-^R,. = 0.
Dans cette égalité , faisons croître indéfiniment la variable n : par hypothèse, chacun des termes R„, R,..| tend vers zéro ; donc
lim «„ = 0 n.
P. Grandi en avait conclu la possibilité de la Création! Ces rêveries étaient eicusables clans le siècle dernier. Am'ourd'hui, les auteurs qui admettent réquation
ne possèdent pas les premières notions de l'Analyse.
(*) Il est bon d'observer, à propos de cette proposition fondamentale, que la convergence ne dépend pas des premiers termes : la série
dont les termes, abstraction faite du signe, vont d*abord en augmentant, est convergente.
SÉRIES. ê
4. Théorème II. — Dans toute série convergente, la somme d'un nombre quelconque, mais déterminé, de termes consécutifs a pour limite zéro.
Conservant les notations du numéro précédent, représentons par S.+P la somme des n -+- p premiers termes; nous aurons
Ces deux équations donnent
puis, si le nombre n croit indéfiniment,
lira {u^i -♦- 1#«+8 H- -H u^ = 0.
&• Remarques. — I. L énoncé et la démonstration du dernier théorème supposent que le nombre p des termes consécutifs est constant : il peut, d*ailleurs, être aussi grand qu'on le veut (*).
II. Les théorèmes précédents expriment deux conditions auxquelles satisfont toutes les séries convergentes. Conséquemment, toute série qui n'y satisfait pas ne saurait être convergente.
Ajoutons que ces deux conditions, nécessaires, sont loin d*ètre suffisantes : on verra bientôt qu'une série dont tous les termes, supposés de même signe, décroissent indéfiniment, peut être divergente.
III. Le second théorème est une conséquence du premier; car si des quantités, en nombre limité, tendent cha-
(*) Moyennant une certaine condition , le nombre p peut être vcuriabU et indéfiniment croissant. (Voir plus loin , p. 7.)
ctme vers zéro, leur somme a pour limite zéro (*). Il résulte de là que si les termes d'une série ^ convergente ou divergente, ont pour limite zéro, on en peut toujours trouver p consécutifs dont la somme soit inférieure à un nombre donné d.
En effet, pour satisfaire à rinégalité
dans laquelle tous les termes sont supposés positifs, il suffit de rendre chacune des parties du premier membre moindre
que J (").
Iv. Il y a cette différence entre les séries convergentes et les séries divergenles, que, dans toute série convergente, la somme de p termes consécutifs tend vers une limite, quand le nombre p augmente indéfiniment, et que, dans les séries divergentes, cette somme croit indéfiniment avec p, quel que soit le rang du pt^emier des termes considéf^és. Ces deux
(*) Si ce nombre augmentait indéfîniment, la proposition pourrait être en défaut. Soit Tidentité
dans laquelle n désigne le nombre des parties de Tunilé. Appliquant le théorème énoncé, on est conduit à celte absurdité :
1 =0-hO-*-0-4-0-*-
(**) Dans la plupart des cas, les termes de la série vont en décroissant, du moins à partir de Tun d'eux. S*ii en est ainsi, Tinégalilé ci-dessus sera vérifiée dès que Ton aura :
Exemple :
Cette condition est remplie dès que fi -h 1 surpasse ^-
propriétés, que Ton pourrait regarder comme évidentes, résultent très-simplement des principes précédents. En effet, si la série est convergente, on a (l)
puis, en supposant n constant et p variable,
Iim(S.+,-S„)-R„ = 0, ou
lira (S^^ - S J = S - S„.
Au contraire, la série étant divergente, la somme S.^.^ peut dépasser toute limite; et il en est évidemment de même pour (S.+, — S„) (*).
•• Théorème III. — Dans toute série convergente^ la somme d'un nombre indéfiniment grand (**) de termes consécutifs tend vers zéro, lorsque le rang du premier de ces termes augmente indéfiniment.
Dans réquation
supposons qne/> soit une fonction de n, qui devienne infinie avec cette variable. Nous aurons, en passant à la limite,
comme dans le cas oij p était supposé constant (4).
I, Remarque. — Celte proposition, beaucoup plus générale que le Théorème II, n'exprime pourtant pas une propriété qui appartienne exclusivement aux séries convergentes : la somme d'un nombre indéfiniment grand de termes consécutifs peut avoir pour limite zéro, sans que la série soit convergente (***).
(*) Toujours en supposant n constant.
{**) Indéfiniment grand signifie ici : ^t croit indéfiniment. . (••') Voir p. 13.
9. Théorème IV. — Si les termes d'une série sonîj en valeur absolue^ respeciivement moindres que ceux d'une série convergente dont tous les termes ont même signe, la première série est convergente.
Décomposons la somme S, des n premiers termes de la série convergente en deux partiels a^^ b^; a. représentant Tcnsemble des termes correspondant aux termes positifs de la première série, et b„ la somme de ceux qui correspondent aux termes négatifs de eelle-ci. Désignons par Sl^ à^9 6â les quantités analogues, relatives à la première série. Nous aurons
Si = ai — 6i, S„ = a„ -♦- 6„.
La seconde série étant convergente, les sommes positives croissantes a„, b^ ont des limites a, |3; donc les sommes positives croissantes ai, b]., respectivement moindres que les premières, ont des limites a\ |3'; et la somme S|, a pareillement une limite, égale à a^ — (3'.
•• Remarques. — L 11 est visible que le même théorème subsiste si les termes de la première série sont égaux à ceux de la seconde, respectivement multipliés par des quantités positives ou négatives quelconques, mais finies.
II. Si la série convergente donnée n'avait pas ses termes de même signe, la proposition pourrait être en défaut : en effet, la dilFérence a„ — b„ peut avoir une limite, bien que les sommes a„, 6« croissent indéfiniment (*).
{*) Par exemple, ainsi qu*on le Terra plus loin , la série
est convergente, et la série
est divergente.
!•• Applications. — 1. La série
i i i \ ^ "*" ï "*" Ta "^ 1.2.5 "^ "^ 1.2. 3. ..(«"-^") "*" '
dont les termes, à partir du quatrième, sont respectivement moindres que ceux de la progression
est convergente, II. £a «érie
""ï "*" ïr2 "" 1.2.3 "*" 1.2.3...(n-1)^
est convergente.
lU. £a jtm>
a-^c (an- c) (2a -4-0) (a-Hc)...(n— la-+-c)
6+ç (6^c)(26+c) (6+c)...(in6-f-c)
dans Uiqtielle a, b, c son^ des quantités positives, est con^ vergente si a est inférieure à b. Dans le cas contraire, elle est divergente.
En eiïet , dans le premier cas , les termes sont , à partir du troisième, respectivement moindres que ceux de la progression décroissante
a -^ c (a -^ cY /a -+- c\"
etc.
(*) A cause de
na-i-c a-^c
10 ALGEBRE.
De la série barmonlqne.
tt. Cette série a pour termes les inverses des nombres naturels, c'est-à-dire
On lui donne le nom de série harmonique y parce que trois termes consécutifs quelconques, ou, plus généralement, trois termes cquidistants quelconques sont en proportion harmonique (*).
Il est facile de prouver que cette série, dont les termes diminuent indéfiniment, est divergente. En effet, grouponsles, à partir du troisième, de la manière suivante :
(*) Trois nombres a, b, c, sont en proportion harmonique, quand Vexcès du premier sur le deuxième, est à Vexcès du deuxième sur le troisième, comme le premier est au troisième; cVsl-à-dire lorsque
Il est aisé de reconnaître que les fractions — : i -t — : satisfont à cette relation.
La dénominalion de proportion harmonique se rattache à un phénomène d^acoustique: quand on veut faire rendre à une corde les sons composant Vaccord parfait majeur, on fait vibrer la corde entière, puis les { , puis les I de la corde. Or
SÉRIES. . Il
nous aurons
ou bien
DonCy en supposant n = 2* :
L*expression - pouvant croître au delà de toute limite, il en est de même, à plus forte raison, pour S„ (*).
19. La série dont nous nous occupons est excessivement peu divergente; c'est-à-dire que la somme S„ croît très-lentement avec n. Pour le faire voir, groupons ainsi les 2* premiers termes :
{*) On peut encore employer la démonstration suivante : Évidemment,
La somme entre parenthèses surpasse ^=ï* Donc le reste (s*ll y en avait on), serait toujours supérieur à ^ ; et, contrairement à la définition (S), il ne tendrait pas vers zéro.
nous aurons
ou
et même, dès que Texposant k surpasse 2 (*),
Ainsi, la somme des n premiers termes de la série harmonique est inférieure à l'exposant de la puissance de 2 égale à n.
Si» par exemple, k==l% on aura n=^i 096,
et, en même temps,
Siwe < 7;
de sorte que la somme des 4 096 premiers termes est comprise entre 7 et 12 (**).
De même, A = 20, ou n = 1 048 576, donne
