Remarque. — II est facile de vérifier Videntité
fiH-l n-i-2 2n 2 3 4 2n
Le second membre représente la somme des 2n premiers
n *> 2 donne
(**) Par d^autres considérations, on trouve S4 q^ ^ 8,89....
termes d*une série convergente , dont la limite, comme on le verra, est le logarithme népérien de 3. Donc
lim 1 -♦- -H 1 1 = 1.2.
Vn -♦- i n -♦- 2 2n/
HA. Dans la série harmonique, prenons p termes à partir du n**~; puis, supposant n=p^, faisons croître p indéfiniment : je dis que les sommes ainsi formées ont pour limite zéro. En effet, chacune des fractions
est
inférieure à 4
. Donc
ou
Sii+,-
et , par conséquent ,
lini(S^~.SJ=0.
Ainsi, comme nous Tavons déjà dit (V) : la somme d'un nombre indéfiniment grand de termes consécutifs peut avoir pour limite zéro, sans que la série soit convergente.
Salte des lliéorèBiea sar la e^Bveiv^BCO*
16. Théorème V. — Dans toute série convergente, composée de termes positifs, le produit du terme général, par le rang de ce terme, a pour limite zéro.
Sij à partir d'une certaine valeur de n,on avait constamment
a étant une conslanie positive, on aurait aussi
a d OL
puis
La quantité entre parenfbèscs est la somme de p termes consécutifs de la série harmonique : en prenant p suJQSsamment grand, on rendra cette somme, et son produit par a, supérieurs à tout nombre donné (ft. Rem. IV). La série -considérée serait donc divergente.
!•• Théorème VL — Une série est convergente si, à partir cCun certain rang, le rapport d'un terme au terme précédent, pris en valeur absolue^ est constamment inférieur à un nombre donnée moindre que l'unité.
D'après le Théorème IV, il suffit de considérer le cas où tous les termes sont positifs. Or, si Ton a
«•+1 ^ W»+« ^ *'ii+F ^
a étant une constante positive, inférieure à Tunité, il en résulte que
son! respectivement moindres que les termes de la progression décroissante
Et comme cette progression forme une série convergente» il en est de même pour la série proposée (s).
il. Remarques. — L Ordinairement ce théorème peut être énoncé ainsi : Une série est convergente, si le rapport
SÉRIES. i5
d'un tenne au terme précédenty pris en valeur absolue, tend vers une limite inférieure à Vunité,
II. Cependant la première proposition est plus générale que la seconde : il peut arriver, en effet , que le rapport ^^ n'ait pas de limhe déterminée. C'est ce qui a lieu, par exemple, pour la série .
sin' f siii' ç> sin* 2?
i H- A cos* Y (i -f- A cos* ç») ( I -*- A: cos* 25»)
j sin' ç> sirr 2^ . . . sin* n^ (I -♦- icos' ç) ... (I H- Acos'ny)
dans laquelle on suppose
Cette série est convergente, car le rapport
M.+i^ , sinVw -H I)?
u„ I H-. k cos' (« -h i ) f
est inférieur à A: (*).
III. Si tous les termes ont même signe, et que le rapport ^^ ait pour limite l'unité, la série peut être divergente.
Dans la série harmonique, que nous savons être divergente (11), le rapport
donc
lim = i .
(*) Excepté pour les valeurs de n qui donneraient sin" (n -♦- 1) f =s 1. Hais, dans ce cas, l'arc f serait commensurable avec la circonférence; et, à cause de sin (Sn + â) f = 0, /a série se réduirait à un polynôme.
IV. En conservant les notations précédentes ^ et en supposant tous les termes positifs, on a
En effet, les inégalités donnent
R« <au„(1 -^a-4- a* -f. );
et, à plus forte raison ,
