CHAPITRE V

5I9« I. Soit dy = sin x cos xcfx.

L'intégration par parties donne

y= / sin xd (sin x) == - sîn* x -♦- C.

On peut encore intégrer en observant que

sm a: cos X =-- sin 2x.

On trouve ainsi

y = -■ / sin 2xrfx = — -cos 2x -i- C.

5S. Jtemar^ue. — En égalant ces deux résultats, on conclut

- sin* «-♦-€ = — - ces 2x -i- C, 2 4

Pour trouver la relation qui existe entre G et G', il suffit de supposer x=0 : Téquotion se réduit à

donc , en général ,

— sin'a: = -(i — cos2x);

ce qui est exact.

64. II. Plus généralement, soit 2/es/sin''a[; cos'xdx. Cette intégrale peut être transformée de différentes manières :

1® Si Ton fait sin2x = 6, il vient

cos*x = 4 — 0, dx= — > y=" /®* (^— ^)* ^^•

On a donc une différentielle binôme : l'intégration est possible (•©) si ^~i = entier et si ^^ = entier.

2^ On peut trouver des formules de réduction , analogues à celles qui se rapportent aux différentielles binômes.

Par exemple, p et 9 étant supérieurs à Tunité :