V- = / sin'x.cosirix.cos'~*x = sin^*^xoos*~*x

La nouvelle intégrale peut être écrite ainsi :

/sin'x (i — cos'x) cos*~'xdx ==/sin'x co8*~*xdx — y^

Donc

(P ■+- ^)yf = sin*"*^ X C08« * ar -I- (9 — l)y^, — (7 — l)y,;

et enfin .

.y, = sin'*^"* X ces»"* x h y,t .

p-+-qr p-*-9

Si 9 est entier, cette formule réduit Tintégrale proposée à

yi =fs\n*x ces xdx,

yo=/sin'xrfx.

ou a Or

y, = -sin'+'x;

et, si /> est entier, on peut exprimer y^ sous forme finie, parce que Vun des nombres p , p -f- 1 est pair, 3® Supposons p, q négatifs et entiers. Soit

dx /^ dx

/* dx /* dx .

y, = / -: =/ — r— sm"*''x

y sm''xcos'x e/ cos*x

cos~^+*x = tg X sin"** X cos"^' X —

fig X ( — p sin""*^ X ces"*"*"' x h- 9 — 2 sin~'+* x cos"***^ x) dx, ou

1 r dx n ~

sin'~*xcos'"*x V/ sin'*x cos»~'x »/ sîi

sin'^'xcos'x

INTÉGRATION BE QUELQUES FONCTIONS aRGULÂIRES. 587

On a

y'* dx r*s\vfxdx r dx p dx

sin^*xcos*x J sin'xcos^x */ sin^x co8*x ^ siii'xco8*""'x

Ainsi

y*°^sin^'xL^'«-^py-'-(^-=^)^*-y*-'^>

puis

^' ^ (g--l)sin'-*xcos'-*x ■*" 9-i ^'-" ^^^

Si q est pair, on arrive à yo^^t/sûpx» ^^> ^' ? ®^' impair, ^ j/i=x/linP«co8«- Opérant sur ces intégrales, à peu près comme nous venons de l'indiquer, on pourra les réduire, suivant les cas , à

^ J sm'x c/ cosx y smxcosx

W" Enfin, p et 9 étant entiers positifs, on peut remplacer sin^'x, cos'x, sin''x cos*x par leurs valeurs en fonction des sinus et cosinus des multiples de x; et, par suite, effectuer l'intégration.

&5. Exemple :

y = /sin'x cos*xdx.

On a -^

sin'x =-sin x sin 3x; cos*x =- cos 4x-»- - ces 2x -h - •

Donc,

32 siu' X cos* X =

[3sinxcos4x+12sinxcos2x — sin3xcos4x — 4sin3xcos2x]

+ 3 (3 sin X — sin 3x).

De plus :

sin X cos 4x =— (sin 5x — sin 3x),

8in X cos 2x=^ (sin 3a; — sin x).

sio ox cos 4x = - (sio 7x — sin x),

sin 5x cos 2x = - (sin 5x + sin x).

Au moyen de ces valeurs, la fonction entre parenthèses devient

i(-i5sinx^9sia3x-sin5x-sin7x).

Ainsi

sin' X cos* X = — (3 sin X + 3 sin 5x — sin 3x — sin 7x).

Multipliant par dx, et intégrant chaque terme, on a enfin /8in'xco8*X(ix=— -1 — 3oosx— co83x-f--cos5x-4-~cos7x j+C; et, si Ton prend pour limites 0 et | :

sin' X cos* xdx = —

Ml. Vérification. — Si Ton fait cosx=G, on trouve, immédiatement,

y*sin' X cos* xrfx = — y o* ( i — 0 ^^ i , i , cos'x cos'x ^

Cette valeur ne diffère pas de la précédente; car (Àlg-f t»0) :

INTÉGRATION DE QUELQUES FONCTIONS aRGULAIRES. 589

— 5 cos or — cos 3x -4- -cos 5x -4- ~ oos Ix

64 « 64 , ,,, = — -- cos' X -♦- —- cos' X ( ).

&9. /{emargu^. — Les intégrales définies

Te î

/ sin^xdx, / cos" xrfx,

peuvent, très-facilement, être exprimées soti« /orme /?nte, quand Texposant n est un wmibre entier. En effet, la formule trouvée ci-dessus (50, S"") :

i 7 — 1 y- = sin*^ co8»~* x -i t/,-.i,

donne

/ cos" xrfx = / cos"~* xdx.

Par conséquent :

Si n est patr :

5" ir1.5.5...(fl — 4)

cos" xdx =

et , si n est impair :

cos" xdx = r-TT^i •

(*) On Toit combien il est essentiel de savoir trouver, dans chaque cas particulier, la transformation qui 8*y applique le mieux. Cet art des transformations constitue l'une des grandes difficultés du calcul intégral : on ne peut Tacquérir qu'après s*y être beaucoup exercé.

800 GAUXL CITÉ6AAL.

Les premiers membres ne ehangent pas quand x e>i remplacé par-^ — x; doue :

S9. III. VmtègnAe de ^g^ donne lieu à une traosrnrmation remarquable (**). 0>mme

sm X =s 2 sm— X cos -X,

et que