Problème III. — Évaluer

X» X* X* x' X» jc" x" , ^

y = X 1 H-— 1 H— (il)

Opérant comme pour le Problème II , on trouve

'(x -¥• \)dx

/•(x-f- l)rfx X* -t- X -h 4

) (i2) = - 1 (x* -I- X -4- 4) H — — arc tg

De là résulte y si Ton suppose x=4 :

i TT 4 4 4 4 4 4 4

9». Problème IV. — Évaluer

X" oc* '>•*' of*' or* t"

»w tÂr tAf •!/ «v /lit

IINTÉGRATIOIf PAR SÉRIES. e08

On trouve y encore de la même manière,

/• xdx i i xl/3 ,

-,3j^^^ = -l(x«-.x-.l)-— arctg— ; (15)

et, en particulier,

I, TT i 1 1 i i i

ve. Remarque. — Les premiers membres des égalités (13), (16) sont les limites dont il est question à la page 30. Gonséquemment, la série

a pour somme 1 3. C'est ce qu'il est aisé de vérifier. 77. Problème V. — Développer

bx) {ax — x')

en supposant les constantes a, b inférieures à l'unité (*). Par la formule du binôme,

i ^1 1.3,, , 1.3.3...(2ii— 1). „

\/\Zjbx 2 ^-^ ^'^'^ ^^

Par conséquent, si Ton fait

/*• x"rfx

on aura

(•) La quautité T représente (à un facteur près) la durée de l'oscillatiou du pendule simple.

e06 CALCUL INTÉGRAL.

De l'identité

» afdx I \ 2 / \ pj^ix

Vax—%~J Vax — v? ^ J Vl^

on conclut, en intégrant par parties,

A„ [x-l/aa:-i»]n

-4-(» — i) / x"-*dx Vax — a?' -I- - aA„^, = (n-1) / ^^ joA^.;