CHAPITRE VIII

9». En supposant <p'(ar)=/'(x), nous avons trouvé (») la formule de définition :

/ V{x) (ix = f (6) - p (a). (1)

Il en résulte

6t0 CALCUL INTÉGRAL.

et, par conséquent,

/• f{x) dx = —/* f(x) dx. (2)

Ainsi, quand on intervertit Vordre des limites d*une intégrale définie, on doit, en même temps, changer le signe du résultat.

90. Getle règle est surtout utile dans les changements de variables. Soit, par exemple,

< sin xdx

/< sin xdx — i -+- ces' X

Si, pour rendre algébrique la différentielle, on pose cosx=z (*), il vient

./ i + z*' ou, par ce qui vient d'être démontré,

Partage d^une Intéfrale.

9t. a étant une quantité intermédiaire entre les limites a, 6, on a

/''f(x)dx=f{cL) — f{a),

/'f{x)dx=f{b)-<f{a);

d'où, par addition,

/""/•(x) dx -4-/V(x) dx =/V W dx.

{*) Cette iransformaiion , employée pour faire une applicalion de U règle, n>st pas nécessaire : il est visible que Tintégrale générale est — arc Ig (cos x) + C.

De même,

f^fi^x) dx -*-/^/*(x) dx -*-/V(^) dx =f'f{x) dx;

et ainsi de suite. On peut donc décomf&êer une intégrale définie en deux ou plusieurs autres intégrales, dont chacune commence où la précédente finit.

S9. Entre autres applications de ce théorème, nous signalerons celle qui a pour objet de resserrer les limites données : si Ton peut disposer des quantités a, (3, y, ..., fx, de manière que chacune des intégrales

soit nulle 9 on aura, simplement,

j f{x)dx = r f(x)dx,

a fA