PRÉLIMINAIRES

. De Pégalité

dF

nous avons conclu (1)

F{x)=/f(x)dx.

Soit maintenant une quantité U, fonction de deux variables indépendantes x,yyh déterminer par la condition

(PU Il en résulte, premièrement,

puis

Le second membre de cette égalité (2) est une intégrale double. Elle est définie ou indéfinie, selon que les limites des intégrations sont ou ne sont pas assignées : pour le moment, nous nous occuperons seulement des intégrales indéfinies.

K D*après la manière dont la formule (3) a été obtenue, les opérations à effectuer pour trouver U sont cellesci : 1** on intègre, par rapport a x, f (x, y) dx, ^ regardant la variable y comme une constante; ^ V étant le résultat de la première intég^'ation, on intègre, par rapport à y, Vdy.

•t. Soit y par exemple.

Alors

V =y(4x' — 6x'y -♦- %') rfx = rt* — 2x'y -♦- 3a:y'; puis

U =J*{x* — 2x*y -*- 3a:y*) dy = x*y — x'y' -t- xy' (*).

••• Remarques. — LA cause du théorème exprimé par régalité

dydx dxdy on a

Ainsi, l'expression d'une intégrale double n'est pas altérée, quand on intervertit l'ordre des intégrations (**).