III. Si Tordre des intégrations n'est pas encore fixé, on

écrit

V=fff(x,y)dxdy,

(*) Cette valeur de U est une intégrale particulière : on verra, ciaprès, comment elle doit être complétée.

(**) Dans le cas des intégrales définies^ cet énoncé est soumis à certaines restrictions.

Fonctions arbitraire*.

•S. Le raisonnement employé à Toceasion des intégrales simples (2) prouve que :

Si, par un procédé quelconque, on a trouvé une fonction F (x , y) satisfaisant à la condition

la fonction la plus générale, jouissant de la même propriété, est donnée par la formule

U = F(x,y)^f(a:)-hY(y), (4)

dans laquelle (p et^f désignent des fonctions arbitraires (*). •4. Application. — En supposant

dydx nous avons prouvé (oi)

F (x, y) = x'y — xy -+- xy\

(*) Pour ne laisser aucun doule dans Tesprit du lecteur, nous ayouie^

rons la démonslration suivante.

Soit

R étant une quantité inconnue. A cause de

dydx dydx on a

dydx

La dérivée de -^^ relative à y, étant nulle, il s'ensuit que ^ est une quantité indépendante de y :

La valeur la plus générale de U est donc

•ft. Remarqtie. — U ne servirait à rien de prendre, pour complément de l'intégrale, cp(x) -hW (y) -h C : la constante arbitraire C peut être supposée contenue, soit dans 9 (x), soit dans ^ (tf).

ImiéffrAle* triples, qiiAdraple«y etc.

ne. Les notions précédentes peuvent, évidemment, être étendues au cas où le nombre des variables indépendantes s'élève à trois, quatre , ... Par exemple , si