CHAPITRE XVI

iSt. En remontant aux principes exposés en Géométrie, on est conduit à prendre, comme élément de la surface, un parallélogramme infiniment petit, situé dans le plan tangent, et dont la projection, sur le plan des xj/, a pour mesure dxdy. Conséquemment, d\ = ^^, v étant l'angle de la normale avec Oz. On a trouvé (p. 543)

ces y

V/jl^*.» . «»

ainsi

A =/y rfxcJ^l/l -4- p* + (f\

Relativement aux limites, les règles à observer sont les mêmes que pour la détermination d'un volume (199). Ajoutons , pour compléter l'analogie , que A est le volume limité par la surface dont l'équation serait

1S9. Mesurer la partie AEC de la mrface d'une sphère,

intérieure au iylindre de révolution dont une génératrice OC passe par le centre O, et dont la base OAD a pour diamètre le ^ rayon de la sphère (*).

Les équations des deux surfaces sont

X* -♦- y* -+- jz' = û*, On' tire, de lequaiion (1) :

donc

Va* — i» —

Les limites sont

2/i = ^> .V« = l/x(a — x), xj = 0, x, = fl. L intégrale indéfinie, relative à y, est

arc &in

WVlT

(•) Ce problème est connu sous le nom de la Fenêtre de Viviani.

eonséquemment

/ xy r=: = arcsin\/ •

puîs

A = fl/ rfx.arcsin\/

Soi!

nrc sin \ / = $

Celle transformation donne

^-^ = sin«fl, x = atg'e, rfx = 2ats8-4-

cos $

A = 2aY otee

•/ cos'0

On a

»/ cos' 9 ° '

puis

rffl

et enfin

6 (go = .

cos*0 4 2'

ias- Autre méthode. — Si Ton fait x = mcosm, y = w sin « (t08) :

dxrfy = udu(tu>.

De plus 9 réquation de la circonférence ODA élani ti = a eos Gi> , les limites sont

îi, = 0, tij = a ces to, «1 = 0, «, =— •

La formule (3) devient donc

Linlégrale relative à x est[ — 1/a* — ii*X***'^=a — asinu; eu sorte que

A = ay * (i — siu «) rf«,

cotume ci-dessus.

ISA. Remarque. — Le triangle sphérique ABC a pour mesure ~ ; donc AECB=^a*. Ainsi , le triangle curviligne A£CB est équivalent au carré du rayon de la sphère. Le volume de ADOCBAE a également une expression fou simple : il est les | de a' (*)•

tS6. Soit

Aire de rellIpMlde.

Féqualion de la surface. On en tire

(*) Ce résultat curieux a été trouvé par Pabbé Bossut (né en 1730, moii en 1814).

Donc» A^ étant le huitième de Taire cherchée ,

-fr

L*intégrale doit être étendue a toutes les valeurs positives de x' et de y\ satisfaisant à la relation

Si Ton fait

on trouve

/»/» . /1 — fflr* — 6*?/'

Désignons par z la valeur positive du radical ; alors l'intégrale A devientj^dxdy : elle peut être considérée (tts) comme représentant le volume de la partie du cylindre dont réquation est x^ + 2/^=ly comprise entre les plans coordonnés et la surface S représentée par

i — a'x' — by

ou, plus simplement» par

En supposant a> (3>7, on a 1 > a*> 6^ Donc les seclions faites dans la surface» par des plans parallèles aux xy^

sont des ellipses GDH : les limites sont un point, répondant à 2=1, et le cercle représenté par ac'-*-y*=l. Une première partie du volume est celui du cylindre

droit AOBA'CB, ayant pour hauteur 0C=1; savoir, \ T.. Nous pouvons prendre, comme élément de la seconde partie, le volume d'un cylindre ayant pour hauteur dz, et dont la base serait la cowrnine HGEF, comprise entre le cercle EF et Tellipse GH.

Les demi-axes de cette ellipse sont, d'après Téquation (7) :

Conséquemment, le cylindre élémentaire dont il s'agit a pour mesure

et la formule (6) devient

•Stt. Soit 1 =

On peut, de différentes manières, simplifier eette intégrale. Voici celle qui a été proposée par M. Ghysens (*). En désignant par R le radical, on a, identiquement,

, R z^dz ,, dz

donc

'z^dz R ...rdz

/z^dz R , , p dz Vi z J «*R'

puis

et, par conséquent,

La quantité entre parenthèses semble indéterminée pour jz;=oo ; mais, si on Fécrit ainsi :

on voit que la limite cherchée est zéro. La formule (9) devient donc

et la formule (8) r

^ W'{z»a')(z»— 6') ^/ xV(z*— o'Kz'— 6*)

(iO)

(*) Nouvelle Correspondance mathématique, t. III, p. 42. Emile Ghysens, Répétiteur d'Analyse, 5 l'École des Mines (Liège), vient de mourir à rage de trente ans. Ce jeune homme, déjà connu par quelques travaux intéressants , donnait de grandes espérances.

La détermination de Taire de Tellipsoîde est ainsi réduite aux quadratures. Quant aux intégrales contenues dans la formule (10), elles dépendent des fonctions etliptiques.

flSV. Ellipsoïde de révolution. — Si a==6, la formule (8) devient

ir ^ y Jj'— a* 2a ./ \z— a z-4-a/

n ni — a' 4 — a

Et comme

8A^ == 2ffa» >♦- TT "^ 1 ^ . (H)

Telle est Texpression de Taire de Yellipsoîde de révolution, aplati (*).

I. Appliquer, à Thyperboloîde gauche, la méthode précédente (tS6) : on suppose que la surface est limitée par deux plans parallèles au plan de Tellipse de gorge.

II. Calculer Taire du paraboloîde dont Téquation est z=xyj en supposant

(*) On a vu, ci-dessas(f ••), le cas de Vellipsùîde de révolution, allongé. Au foDd, les deux formules sonl identiques : comme on Ta vu dans un cas analogue à celui-ci (i4], on passe aisément de Tune à l'autre.

III. Evaluer le volume de Tellipsoîde au moyen des variables u, v liées k x, y par les équations

IV. Théorème. — Soient R, G, cp {a distance de l'origine au plan tangent en un point d'une surface, et les angles qui déterminent la position de cette droite. Si l'on fait, pour abréger,

L = R sui e -♦--—- CCS 6 -I- -: --»

de sin 6 df

cos e dK d^'R

sm 0 df dedf

N = R-4--— » de'

l'aire de la surface est donnée par la formule