CHAPITRE V

Des fonclloiiii.

9B« Si deux quantités x, y sont liées par une équation, la quantité x, à laquelle on donne des valeurs arbitraires, est appelée variable indépendante: l'autre variable y est dite fonction de x. Cette fonction est eocplicite ou implicite, sui- \anl que lequation donnée a la forme j/=/'(x) ou la forme F (x, y)==0, c'est-à-dire suivant que celte équation est ou n est pas résolue par rapport à y,

77. On donne le nom de fonction algébrique à tonte fonction explicite dans laquelle les opérations à effectuer sur la variable x sont des additions, des soustractions, des muhiplicatiot^ , des divisions, des formations de puissances et des extractions de racines, en nombre limité. Par exemple,

est une fonction algébrique.

79. Toute fonction explicite qui n'est pas algébrique est dite transcendante. Les fonctions transcendantes les plus simples sont les fonctions trigonomctriques ou circulaires, et la fonction exponentielle a'.

7». Une variable x est continue lorsqu'elle ne peut passer d'une valeur quelconque a à une autre valeur quelconque (3 sans passer par toutes les valeurs intermédiaires. Une fonction y est continue depuis x==a jusqu'à x = p,

quand elle est réelle et finie pour toutes les valeurs de x comprises entre a et ^, et que, dans cet intervalle, elle peut varier par degrés aussi petits qu'on le veut (*).

Dlfleiisflloii de la foncllon exponentielle.

90. Dans Véquation exponentielle y = a% supposons d abord la constante a plus grande que 1 ; faisons varier x de — 00 à -H 00 , et cherchons comment varie y.

1^ En donnant à x les valeurs entières 0, 1 , 2, 3, ..., nous pourrons former le tableau suivant :

x = 0, x = l, x = 2, x = 3, ..., x = -t-oc, y « 1, y = a, y = a*, y = a\ ..., y = -+- oo •

En effet, aO = l, et fe« puissances successives d'un nombre supérieur à l'unité peuvent dépasser toute limite (**). 2"* A toute valeur de x correspond une valeur de y. Il

suffit de considérer le cas où x a la forme Ç. Or a» =\Vû' a une valeur réelle et positive : cette valeur est ce que nous désignons par y.

(*) S'il est possible de rendre l'accroissement de x assez petit pour que raccroissement correspondant de y soit, en valeur absolue, inférieur à une quantité quelconque i, y passera par toutes les valeurs intermédiaires entre celles qui répondent aux valeurs extrêmes de x : la seconde définition ne diffère donc pas essentiellement de la première. Cependant, celleci est préférable. Exemple :y = x (i — a;). De a; = 0 à a; = 1, j^ est finie et continue; mais, comme les valeurs de t/, qui répondent à ces valeurs extrêmes de Xj sont égales entre elles, on ne peut pas dire que la fonction a passé par des valeurs intermédiaires.

{**) L'exposant n étant supposé entier positif, on a

fi n(n — 1) ^ (1 -ha)»==l -♦-—«H r — «'h

Si la quantité a est positive, tous les termes du second membre sont posi-

3^ Quand x augmente, y augmente. Soient a, a-4-A deux valeurs attribuées à Xy a. ei h étant des quantités positives ; on aura

En effet, cette inégalité équivaut à a* > 1, relation évidente en vertu de ce principe : les puissances et les racines d'un nombre plus grand que 1 sont plus grandes que 1 .

A® La fonction a' est continue. Pour le faire voir, il suflir, en conservant les notations précédentes, d'assigner une valeur de h vérifiant l'inégalité

L'accroissement h étant nécessairement fort petit, si, comme on le suppose, 3 est une fraction, on peut le représenter par ^, n étant un nombre entier inconnu. De cette manière, Tinégalité (1) devient, successivement.

Va < 1 H »

tifs; donc

(1 -*- <x)" > i -f- na.

D*après cette inégalité, pour satisfaire à la condition

(l-f-«)'»> N, N élant un nombre donné, il suffit de rendre

d'où

Cette formule, qui démontre la proposition rappelée dans le texte, peut d'ailleurs être obtenue indépendamment de la théorie du binôme. (Manuel du BaccalaurêtU es Sciences, Ai«6.| 169.)

Or, pour satisfaire à cette dernière relation ^ il suffit de prendre (*)

d'où

5^ II résulte, de cette discussion, que x variant d'une fnanière continue, rfe 0 à •+■ oo , y=a' varie d'une manière continue, de l à -+- oo .

8t. Remarque, — Non-seulement la fonction a' finit par dépasser toute limite, mais encore elle peut être rendue aussi grande quon le veut, relativement à V exposant x. Pour démontrer cette importante propriété, remplaçons a par 1 + a, et supposons x entier : nous aurons

et, par conséquent,

puis

— > — h a H er.