BO0OI
En effet, le premier membre est (*) exprimé par le nombre 94 822 suivi de deux mille soixante chiffres. Ce résultat montre avec quelle prodigieuse rapidité croissent les puissances d'un nombre supérieur à Tunité, même quand ce nombre est moindre que 2 ; il peut servir à bien faire comprendre la différence qui existe entre la fonction exponentielle et les fondions purement algébriques (**).
9t. Revenant à la discussion de a% donnons maintenant àxdes valeurs négatives, et soit, à cet effet, x = — ac', la nouvelle variable x' étant positive. Nous aurons
D'après ce qui précède, cette fraction croit, d'une manière
(*) Voir plas loin, n° t«9.
(**) On démontre, de la même manière, que la fonction a* peut être rendue aussi grande qu'on le veut, relativement à une puissance quelconque de x.
Hi ALGÈBUE.
continue, de 0 à -h 1, quand x' varie, d'une manière continue, entre -k- oo et 0. D'ailleurs, les valeurs de x, correspondant aux valeurs extrêmes de x', sont — oo et 0. Nous pouvons donc former ce nouveau tableau, contenant les valeurs principales de x et de j/ :
En résumé, la constante a étant plus grande que 1, la fonction a' croit , (fune manière continue, rfe 0 à -+- x , quand la variable x croit, d'une manière continue, de — oo à H- 00 .
98. Si, dans y = a'j on suppose la constante a positive et moindre que l'unité, on peut la représenter par ^ • Alors 9 la fonction y étant l'inverse de a", cette fonction passe, d'une manière continue, de + oo à 0, quand on fait varier x entre — oo et -h oo .
84. On arrive à des résultats complètement différents de ceux qui précèdent, si l'on discute l'équation y={ — a)', a étant positif. Le lecteur reconnaîtra sans peine que ( — a)' est une fonction continuellement discontinue (*). On peut attribuer à x des valeurs se succédant par degrés très-rapproches, et pour lesquelles, néanmoins, les valeurs congéspondantes de y sont alternativement positives, négatives et imaginaires (**).
(*) Divers géomètres, se foodaut sur une difficulté à laquelle donne lieu la définition de (— a)*, ont conlesié cette proposition. (*•) L*équation
ap[)artienl à t/ne infinité de points isolés, répartis sur les deux logarithmiques représentées par
9élliillloii alifébrlqae dca losarUhiiie««
8&. Dans réqualion y = a',x peut ôire regardé comme une fonction de y : on dit alors que x est le logarithme du nombre y, dans le système dont la base est a. Autrement dît : le logarithme d'un nombre est l'exposant de la puissance à laquelle on doit élever une quantité constante, appelée base, pour reproduire le nombre donné. Celte définition, on le verra bientôt , s'accorde avec celle qui est donnée dans les éléments.
8#. Supposons, comme on le fait ordinairement, la base plus grande que 1. Alors nous conclurons, du tableau cidessus (89) :
Jog0= — X, Iog1 = 0, loga=1, log(-f- oo) = -t- 30.
Ainsi, dans tout système de logarithmes dont la base surpasse l'unité :
\^ Le logarithme de l'unité est zéro; 2® le logarithme de la base est l'unité; Z^ le logarithme de zéro est l'infini négatif; 4® le logarithme de l'infini positif est l'infini positif {*).
En outre, d'après la discussion précédente (90, 89):
5" Tout nombre a un logarithme; 6^ Les fractions proprement dites ont pour logarithmes des quantités négatives; 7** les quantités négatives n'ont pas de logarithmes réels.
{*) On De doit pas oublier que ces dénomi Dations ôUnfini positif et ù'infini négatif &oni employées pour éviter des périphrases. Par exemple, la quatrième remarque pourrait élre énoncée ainsi : on peut toujours trouver un nombre dont le logarithme surpasse une quantité donnée quelconque. On se tromperait étrangement si, de ce que le logarithme de l'infini positif est Vinfini positif, on concluait que le logarithme tend à devenir égal au nombre. On va voir, en effet, que le rapport d'un logarithme au nombre correspondant diminue indéfiniment quand le nombre augmente, et a pour limite zéro.
ALGÈBUE.
81. Remarque, — Cette dernière propriété tient à ce que la fonetion a' est toujours positive. Elle subsiste pour (outes les valeurs positives de la base a. Il n'y a pas lieu d'examiner le cas où cette constante serait négative, parce qu alors la fonction a' deviendrait discontinue (S4).
8$. Ajoutons, pour compléter la discussion précédente» que le rapport d'un logarithme au nombre correspondant diminue indéfiniment quand ce nombre augmente, et a pour limite zéro.
Soil, comme précédemment, a'=y, d'où ac = logy, et
On a vu que le second rapport, inverse de - , tend vers zéro quand x augmente indéfiniment (8l). Ainsi, la seconde partie de la proposition est démontrée.
Pour la première, nous nous bornerons au cas où j = Iog y = 2, 3, 4, ... Mais alors Tinégalité à vérifier :
se réduit à
et, conséquemment ,
A partir de x = ^^ , les fractions
x-Hl
forment une suite décroissante. C est ce qu'il fallait démontrer.
Propriétés des losarithmes.
SB. Ces propriétés résultent, immédiatement, de la définition ci-dessus (85), jointe aux règles du calcul des exposants (•). En effet, soient x, x\ x\ ... les logarithmes des nombres y, y', y", ... dans le système dont la base est a, de sorte que
1® En multipliant membre à membre ces diverses égalités , nous aurons
ou
yyy'... = a«+^'^"+ ,
log(i/y'i/"...) = X -V- x' -f- x"-f- •••,
ou encore
Jog {yy'y" •••) = log y -*- log y' -4- log y" -4- .. .
Ainsi, le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs.
2® La division de y par y' donne
ou
log — = x — x'= logy — log y'.
Donc, le logarithme d'un quotient est égal au logarithme du dividende, moins le logarithme du diviseur (**).
3® Élevons les deux membres de Tégalité y = a' h une
(*) Manuel des Candidats à C École polytechnique, 1. 1, p. 47. (••) CeUe propriélé est comprise dans la première, attendu que diviser par un nombre équivaut à multiplier par Cinverse de ce notnbre.
puissance quelconque n, entière ou fractionnaire; nous
obtiendrons
y" = a"; d'où
Par conséquent ; le logarithme d'une puissance est égal au logarithme du nombre, multiplié par l'exposant de la puissance; le logarithme d'une racine est égal au logarithme du nombre, divisé par Vindice de la racine.
Coneordanee des deux déflnlllon*.
HO. Dans les éléments, on définit les logarithmes : ks termes d'une progression arithmétique commençant par zéroy correspondant aux termes d'une progression géométrique commençant par l'unité (B., A/y., 176) (*). Celte définition arithmétique des logarithmes s'accorde avec la définition algébrique donnée ci-dessus.
Pour le faire voir, considérons d'abord Téquation exponentielle y == a', et donnons à x les valeurs
nous aurons, comme valeurs correspondantes de y :
U («^), («^)S (a% ..., (a^r..., ou
Ainsi, lorsque les logarithmes sont en progression par différence, les nombres correspondants sont en progression par quotient.
(*) Ce renvoi signifie : Manuel du Baccalauréat, âlg., 176.
En second lieu, prenons les progressions
et soit N un nombre donné, compris entre deux termes consécutifs de la seconde progression, ou égal à Tun d^eux (*).
Entre deux termes consécutifs de chacune des progressions, insérons m moyens, m étant très-grand; et soient
les raisons des progressions
qui remplacent les premières.
Nous pouvons toujours disposer du nombre entier m, de manière que Tunité soit un terme de la nouvelle progression par différence; car V équation
admet une infinité de solutions entières (**).
{*) Le premier cas étant plus général que le second, nous négligerons celui-ci.
(**) Ceci suppose, bien entendu, que ^ est commensurable. Soit alors > la fraction irréductible équivalente à ^. De
wn- 1 1 p on conclut (B. Ârith.)
i=).q, m-+-i = )p, 1 étant un nombre entier quelconque.
ÏM) ALGKBUE.
■V Soit ç' = ç^' = fl le terme de la progression par quotient
qui correspond à î5' = 1 : a est la base du système de logarithmes. Soient, en outre, ç'' et 7''"*"* les deux puissances consécutives de q' comprenant entre elles le nombre donne N : leurs logarithmes sont l^' et (/-+• l)S'; mais, à cause de q' = a* = a*', on a
Ainsi, les logarithmes des deux nombres entre lesquels e$i compris N sont les exposants des puissances auxquelles on devrait élever a pour reproduire ces nombres. Et comme la différence entre 9' et ç'^'"*"*' peut être rendue aussi petite qu'on le veut, la propriété démontrée subsiste pour le nombre N, limite commune de g' et de ç'^'"^** (*).
Logarllhinew népériens.
9t. En partant de la définition arithmétique, supposons r/= 1 -H J: c'est-à-dire, prenons les progressions
Si n^= 1, la 6a«e du système est (8«)
Pour que la progression arithmétique puisse être considérée comme renfermant tous les nombres^ de 0 à t, on doit supposer n infini. Mais alors
a = tim 1
ni
{*) Plus exactement, cette propriété est la définition même de log N.
Ainsi, les plus simples notions de rArithmétique peuvent conduire au système de logarithmes dont la base est le nombre incommensurable e (*).
Comment •n passe d'un système à nn autre.
•9. Soient Xy x' les logarithmes d'un même nombre y^ dans deux systèmes dont les bases son ta, 6. Par définition,
Prenons les logarithmes des deux membres de la seconde égalité, dans le premier système; nous aurons
Jogay = a:'loga6, ou
ou encore
10ga6
Donc, pour passer d'un systhne dont la base est a, à un autre système dont la base est b, on multiplie tous les logarithmeSy calculés dans le premier syslème, par h'nverse du logarithme de la seconde base, ce logarithme étant pris dans le premier système.
Iléllnlllon du module.
98. Quand on passe du système népérien, c'est-à-dire du système dont la base est le nombre e, à un autre système ayant pour base 6, le facteur constant ^-^-^ devient j—^, ou,
(*) C'est, paratt-il , par des considérations de cette nature que Napier (on Neper) est arrivé à Finvention des logarithmes népériens. Avant Lacroix, OD les appelait logarithmes naturels, ou logarithmes hyperboliques.
plus simplement, ^. Ce facteur constant, égal à l'inverse du logarithme népérien de la base b, est le module du système dont la base est 6.
•4. Remarque. — Le module, égal à ^, est égal aussi
à log* c. En effet, de même que x' = x j^, on a
log»o donc
-==log»a;
log.6
et, en particulier,
■i = log.e.
