III. y = (x' — 3x — 5)' (x' H- 2x
La fonction y est le produit de deux facteurs, lesquels sont des puissances de polynômes. Donc (1941)
y' = (x' — 3x — 5)* 5 {x« H- 2x — 1 )' (2x -4- 2) -4- (x' -4- 2x — 1)»2(x» — OX — 5)(DX«— 3) = 6 (x»— 5x — 5) {x« ^ 2x — 1)'(x -4- i) X [x» — 3x — 5 -4- (x» -^ 2x — 1 ) (x — . i )] ,
ou
l/x'-t- 1 (l/l'-4- < -xY \/x*+i (V/«*-<- 1 -Hx)* '
OU, après quelques réductions ,
Si Ton multiplie par 1 — x les deux termes,
•^ i — x« Donc
, ox*-* (i — x') — px^' (\ — x*) t*'=-î ^ *- >
ou ,^ qrx«~"*(i-t-x-4-x*H hx'"*) — px**-* (i-f-x-f-x'n HX«~*)
(i — x)(i-4-X-+-x'-4 hX'-*)*
On a, identiquement :
Ih-x-^-x'h Hx^* = (l— x)(I-4-2x-h5x'h ^-px''~*)^-px^
l4-X-f-X*H hX«"* = (i — x)(l-t-2x-+-3x*H h7X*~*)-+-9X».
Par conséquent, l'expression précédente se réduit à , 9X*-*(i-f-2x-h3x*H — hpx'"*)— px'-*(^-^-2x-f-3x*H — hé/x'"*)
'^ (i-HX^xV-H-X"-*)» '
Cette valeur est plus simple que celle que Ton aurait trouvée en prenant, immédiatement, la dérivée de y (**).
(*) On arrive plus rapidement à ce résultat, si Ton commence par mettre
la fonction y sous la forme
(**) La comparaison des deux résultats donne cette identité :
ç«*-*(i-4-2x-4-3a;*H i-px»»-*) — px»'-*(l-«-2a?-i-3a;*H h^x»-*)
= (i-4-a?-»-a?"H hx«-*)[l-+-2«-4-3x*H h(p — l)x»»-*]
^ (1 -f-x-hx'H hx»»- *) [1 -*-2x-i-3x*H 1- (ç — 1 )x«-*].
iU ALGÈBRE.
Dérivées des fenelleiui de ffODcllons.
134. Soient y = /"(m), u = F(x) : y est fonction d'une fonction de la variable indépendante x; et il s agit d'exprimer la dérivée de y, relative à cette variable, au moyen des dérivées f (w) et F' (x), et sans remplacer u par sa valeur dans f(u).
Donnons à x Taccroissement Ax : y et u prendront des accroissements correspondants, Ay, Au; et nous aurons
àX Atf àX
d*où, en passant à la limite, et en désignant par y' la dérivée de y par rapport à x,
y' = /'(«). F' (X), ou encore
t3&. Si Ion avait
y = f(u), tt = F(v), t? = ç>(x), on trouverait, avec la même facilité,
et ainsi de suite. Donc, en général :
La dérivée d'une fonction de fonctions est égale au produit des dérivées des fonctions qui la composent, chacune de ces dérivées étant prise par rapport à la variable dont la fonction dépend immédiatement.
(*) En général, A, B, C étant trois grandeurs de même espèce, le rapport de la première grandeur à ta deuxième, multiplié par le rapport de la deuxième à la troisième, donne te rapport de la première à la troi* sième. {B., Arith., 208.)
156. Remarque. — La règle qui nous a donné la dérivée de u" (1S1) peut être regardée comme une application de ce théorème.
Dérivées de* ffoDedons logarithmique* on exponentielles.
157. Dérivée de log x. — La base du système de logarithmes étant quelconque, on a, successivement,
y = logx, y -h A = log (x H- A),
k log (x -4- A) — log X \ xl
Si Ton supposait A = 0, le second membre prendrait la forme ^, ainsi qu'on pouvait s'y attendre (tlS). Pour faire cesser Tindétermination apparente, on remplace^ par ^, n étant un nombre que Ton fera croître indéGniment; et l'on a, par les propriétés des logarithmes,
Lorsque n croît, (* -+-^]'* tend vers le nombre e (65). En faisant attention que
iim log (i -*- 1] 1= log him (l -*- ^)" 1 0,
{*) Généralement, si une variable x tend vers une limite a, et que f désigne une fonction continue,
limAx) = /(a),
\ïmf(x)=f{\ïnkx).
Il suffit, pour démontrer cette proposition, de considérer la courbe représentée par y = /"(a;).
on a donc
lira - = y = -logc; n X
ou, en désignant par M le module, égal à log e (94) ,
S'il s'agit des logarithmes népériens, M = l; donc la
dérivée de
y = \x, est
tZH. Remarque. — D'après le théorème ci-dessus (fS4l), . la fonction de fotiction, y = Iw, a pour dérivée
