COS X -H - A
8in -- A
Le rapport-^ — a pour limite l'unité (**); donc
k limr= v' = cosx.
Ainsi , la dérivée du sinus est égale au cosinus,
14S. Dérivée de cos x. — Pour former la dérivée de ^ = cos Xy remplaçons cette fonction par sin f ^ — xj; nous
n (B, rriflf., 24).
(••) (B, Trig., 30).
128 ALGÈBIŒ.
aurons, d*après le théorème relatif aux fonctions de fonctions, et en observant que -^ — « a pour dérivée ( — 1),
y*= — sinx :
la dérivée du cosinus est égale à moins le sinus, 144. Dérivée de tang x. — De
sin X ces X
on conclut (199)
cos X . ces X -4- sin X . sin x
ou
cos'
cos*
Dérivées des reMeilens elre«lalres lave!
145. Dérivée de arc sin x. — Si la valeur de x, tirée d'une équation y = /'(x), est x=F (y), les fonctions ^ F sont dites inverses Tune de Tautre. Par exemple, la fonction itiverse de x = sin y est y = arc sin x (*).
Cela poséy pour trouver la dérivée de cette dernière fonction, servons-nous de Téquation
X = sin y.
En prenant les dérivées de deux membres, par rapport
à X, nous avons
f = cos y . y\ Mais
cos y = -♦- l/l — sin*y = -4- l/l — x" (**);
(*) Cette notation signifie que y est Parc dont le sinus est x. Autrefois, on écrivait y •= arc (sin = x), (**) On suppose Tare y compris dans le premier qaadrans.
THÉORIE DES DÉIlIVÉES. 139
donc , i
IJê. Dérivée de arc cos x. — Un calcul semblable au précédent donne, pour la dérivée de i/ = arc cos x,
147. Remarque, — Lorsqu'un arc «, compris entre 0 ei-j, va en croissant, son sinus p augmente, et son cosi-
nus 7 diminue. Par conséquent, le rapport |-t est /)o.«7î/,
AJ
et le rapport ^est négatif, La limite du premier rapport, ou la dérivée de arc sin (3, est donc positive; tandis que la dérivée de arc cos y est négative. On arriverait à des résultats différents si Ton faisait d'autres hypothèses sur Tare «. En général, la dérivée de y =: arc sin xa le signe de cos y ; et la dérivée de y = arc cos \ a le signe contraire à celui de sin y.
