Dérivée de arc tang x. — De j/ = arc tang x, on

déduit

x = tangy;

puis, en prenant les dérivées,

cos* y

14I9. Remarque, — Les dérivées des fonctions transcetidantes arc sin x, arc cos x, arc tang x sont algébriques; la troisième dérivée est même rationnelle,

(*) Nous engageoDs le lecteur à chercher, directement, les dérivées des fODCtiODS a', cos x, tang x^ arc sin a:, arc cos x^ arc tang a?.

ISO ALGÈBRE.

Bérivées des foBctloBs coinp^iiée*.

150. Soit 2^ = F (ti, v), uciv étant des fonctions de la variable indépendante x : il s'agit, comme dans le cas d'une fonction de fonctions (tS4), d obtenir la dérivée de y, relative à Xy sans remplacer u et v par leurs valeurs 9(0;) et ^'C^)*

Donnons à x un accroissement Ax; mais, afin de mieux apercevoir la partie de la variation de 2^ qui dépend deuet celle qui dépend de v, supposons, pour un instant, que u soit une constante, v étant variable : y deviendra F (u, v -*- Av); et son accroissement partiel sera

F («, V -4- Av) — F {Uy v).

En second lieu, dans F (t«, t; ■+- Av), regardons v -+- Av comme une constante, et faisons varier u; nous aurons, pour la valeur finale de y,

F (tt -4- AU, V -♦- av) (*),

et, pour le second accroissement partiel,

F (w -H AU, V -4- Ar) — F (tt, V -♦- av).

Du reste, la somme de ces deux accroissements partiels ou virtuels est égale à laccroissement total ou réel Ay; (*^^

Ay = F(tt -♦- Ati, V -H av) — F(m, v)

= [F{tt-4- Att, V -+- av) — F (m, v -4- av)] [ (i) -4- [F(w, v -4- av) — F {u, v)].

{*) u est assez visible qu'au lieu de substituer x-^^x dans u et dans v en même temps, on peut faire cette substitution en deux fois. Par exemple^ si j/ = M -4- V, on obtiendra d*abord, en supposant u constante,

MH-V-4- ^v;

l>uis, en faisant varier u dans ce premier résultat,

M -4- A« -4- V -»- Av.

Actuellement, d'après la formule

démontrée précédemment (ItH), on a

¥{u,v -¥■ Al?) — F(ti, t;) = [F;(u, v) -♦- p] av,

F(tt-4- AMjV-HAi;) — F(u,t>-+- AV) = |F;.(m,V-4- Av)-+-a] Atl.

En outre y

FI (w, V ■+• Av) = F|, (w, v) -4- r î

^9 A» 7 sont des quantités qui s'annulent avec Av, Au, Av; Vindice désigne la quantité par rapport à laquelle on prend la dérivée.

Si Ton substitue dans (1), on a

Ay =5 [F;, (w, v) -4- r -+- a] AM -4- [F|, (m, v) -4- p] AV,

puis

Au r T AW ,- -, AV