Dérivées successives d'un polynôme entier, — Soit

y = AqX"* -♦- AiX*"* -t- • • • -4- A«|X -♦- A„.

On a, successivement:

y'= mAoX*'* -♦- (m — 1) AiX"*"* n 1- A,»i ,

y"=m(m— i)AoX--*-+-(m— l)(m— 2)AtX"'''-4-.--4-1.2A,j,

y")a=m(m — i)... 5.2. lAo,

Ainsi , les m — 1 premières déiHvées d'un polynôme entier y de degré m, sont des polynômes entiers, dont les degrés sont (m — 1), (m — 2), ..., 1 ; la dérivée m**"*" est une constante; et les dérivées suivantes sont nulles.

168. Dérivées successives de Ix, é', sin x, cos x. — Si Ton prend

y =rs]x, y ^^é'i y =sina;, y =cosx,

on trouve :

y' =x~*, y' =6*, y' =cosx, y' = — sinx,

y"=s — i.x"*, y"=e», y"==— sinx, y"= — cosx,

y'"=i.2x-', f/'"=e', y"= — cosx, y"'=sinx,

y= — 1.2.5"*, y=c*, y = sinx, y=cosx,

Théorème de Taylor.

159. On donne ce nom à la formule suivante, qui permet de développer une fonction quelconque de x H- A, suivant les puissances entières et positives de l'accroisseroentA:

Dans le cas d'une fonction entière, le seul dont nous ayons à nous occuper ici, le second membre se termine par

m étant le degré de /"(x) : en effet, f^ (x) est une constante (157).

Pour démontrer cette formule, remarquons d'abord que,

si f(x) se réduit à Aqx'", elle devient, après la suppression du facteur commun Ao,

c'est-à-dire qu'elle ne diffère pas de la formule du binôme (4T).

En second lieu, il est facile de voir que si le théorème de Taylor est vrai dans le cas de deux fonctions y (x) et ^ (x), il subsiste pour la fonction F(x) formée par la somme de ces fonctions. Soient, en effet,

Ajoutant membre à membre les égalités (2), (3), et ayant égard au théorème sur la dérivée d'une somme (1^5), on trouve, à cause de Féquation (4),

Gela posé, la formule (1) étant démontrée dans le cas où f(x) se réduit à AqX*" ou à A|X"^, subsiste donc si

f[x) = AoX" -4- A,x"^'.

De même, étant démontrée pour ce deuxième cas et pour

celui de

f{x) = A,x-«, elle Test pour

/'(x) = AoX" -♦- Aix*-* -+- Ajx* •.

Et ainsi de suite.

THÉORIE DES DÉRIVÉES. i57

En résumé, si

f[x) = AqX" -♦- AiX*"* -*- Ajx""* M h A^|X -♦- A^,

le développement de f(x •+• A) est

m-^^n^) -+■ ^r'w -+- - -*- AoA^

160. Remarques. — I. Si le polynôme f(x) a ses eoefileiems entiers, les fonctions

sont aussi des polynômes à coefficients entiers. En effet, ces fonctions sont les coefficients des puissances de A, dans f{x + A).