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Le premier nombre n'admet aueun des diviseurs
Le second n'est divisible par aucune des quantités
Par conséquent, les seuls diviseurs à essayer sont
II. Quand on a reconnu que I équation proposée admet une racine entière a, on doit examiner si cette racine est multiple, e'est-à dire si i équation a plusieurs racines égales à a (••!). Pour cela, après avoir divisé f(x) par x — a, on cherche si ce quotient est encore divisible par x — a; et ainsi de suite.
lilHilIc da BOBibre des raclaes enllè
9SO. Théorème II (*). — Soit f(x) = 0 une équation à coefficients entiers. Soit a un entier quelconque, positif w négatif. Si le produit
f{a) f(oL ^- 1) /-(a -H 2) ... /•(« -4- n — 1)
est divisible par n*", k est une limite supérieure du nombre des racines entières de l'équation f (x).
Supposons, pour fixer les idées, que Féquation proposée ait quatre racines entières a, b, c^d. Alors
(*) Dû à M. G. de Honlebello (Nouvelles Annales de mathématiqves, t XVIII). Ce théorème, contena en partie dans les Recherches arithmélfques de Gauss, renferme les propositions de Gauss et de H. Gerono, que nous citerons plus loin.
RECHERCHE DES RACINES COMMENSURABLES. S5i
9 (x) étant un polynôme à coeflicients entiers; puis
/'(a)/'(a-+-l).../'(oH-w— l) = (a— a)(a-f-1 — a)...(a-4-n— 1— o)
X (a— 6)(a-*-l--6)...(a-*-n— i— 6) X (a — c)(a4-i — c)...(a-*-n — I — c) X (a— rf)(a-*-1— rf)...(a4-n— i— rf) X f(a)y(a-*-l)...f(a-f-n — 1).
Les n facteurs contenus dans la première ligne du second membre sont entiers et consécutifs; donc un de ces /acteurs, et un seul, est divisible par n {*). De même pour les facteurs contenus dans les trois lignes suivantes. D'ailleurs cp (a) 9 (a •+- 1) ...cp(a-4- n — 1) est un entier, positif ou négatif. Donc le premier membre de l'égalité est divisible par une puissance de n dont l'exposant est égal ou supérieur à quatre. C'est ce qu'il fallait démontrer.
99%. Corollaire I. — 5t aucune des quantités f (a) f (a -f- 1), ... f (a -h n — 1) n'est divisible par n , l'équation f (x) = 0 n'a pas de racine entière.
••t. Corollaire II. — 5i f (0) et f(l) sont impairs. Inéquation n'a aucune racine entière (**).
^•t. Corollaire III. — Si aucune des quantités f ( — 1), f (0), f (h- 1) n'est divisible par 3, l'équation n'a pas de racine entière (***).
t. Application. — Soit, comme ci-dessus,
f{x) = X» — 4x* — lOix» -H Uj* -+- 504x -+- 576;
d'où
{*) Si Ton ajoute à loas ces facteurs un même multiple de n , conveoablemeiit choisi , on les transforme en n nombres entiers consécutifs, parmi lesquels, évidemment, se trouve un multiple de n, et un seul.
(*') Gauss {Nouvelles Annexes, t. XVI).
(***) Gerono (Nouvelles Annales, t. XVI). Il est bon d'observer que /"(O) est le dernier terme de réquation.
K9r ALGÈBRE.
Le produit de ces trois nombres est divisible par 3^ et non divisible par 3'; donc Téquation f(x)=0 n'admet pas plus de quatre racines entières.
MI4. Théorème III. — Soit f(x) = 0 une équation à coefficients entiers. Soit p un nombre premier, diviseur du dernier terme. Si f (p) est divisible par p^, k est ufie limite supérieure du nombre des racines entières divisibles par p.
En effet, si a, 6, c, d sont ces racines, on a
Ap) = (p-«)(P-fr)(p-^)(p-d)?{p)^ et le second membre de cette égalité est divisible par p^.
Mecherelie éem raelneii ffracUsanalre*.
t9ft. Théorème IV. — Toute équation à coefficients entiers, dans laquelle le coefficient du premier terme est l'unité, n*a aucune racine fractionnaire.
Soit, s'il est possible, ~ une fraction irréductible qui vérifie I équation
Af, Aji, ..., A„ étant entiers. Remplaçant x par |, et ninl- (ipliant tous les termes par (3*""', nous aurons
aT
Ë désignant un nombre entier. Or, cette égalité est impossible, car -j est une fraction irréductible, (ff., Arith., 93 et 111).
9MI. Au moyen de ce théorème, ou ramène la recherche des racines fractionnaires à la recherche des racines entières. En effet, si Féquation f(x) = 0 n'a pas la forme (4), on peut toujours, en multipliant toutes les racines par un
nombre entier fc, choisi convenablement^ trouver une transformée F(y) = 0, dont le premier terme ait pour coefficient Funité (t48). Si a^b^Cy ... sont les racines entières de cette transformée, les racines de la proposée sont
abc
t99. Remarque. — On pourrait, de cette manière, trouver à la fois les racines entières et les racines fractionnaires de réquation f(x) == 0. Mais il vaut mieux la débarrasser d abord de ses racines entières : le calcul de la transformée en devient plus simple.
tus. Application.
f{x) = 2ix* — 44x* ^ 45x' — Î24x -♦- 4 = 0.
Cette équation n'a pas de racines négatives. De plus, elle na aucune racine entière; car la méthode de Newton donne 1 pour limite supérieure. Changeant x en ^, on irouve
F (y) = y — 4ly» -v 945y' — 10 USy -4- 37 044 = 0.
Les valeurs de x étant plus petites que 1,21 est une limite supérieure des valeurs de y. Il suffit donc d'essayer les diviseurs de 37 044, moindres que 21 . Ces diviseurs sont :
On peut même rejeter 3, 4, 7, 9, 12, 18; car ces facteurs, diminués d'une unité, ne divisent pas F (1) = 27 365. Le calcul se réduit donc à ce qui suit :
Les valeurs entières de y sont 6 et 14. Ainsi,
On lrou\e ensuite
K Au lieu de eliereher la transformée F (y}=0 (99é), oo peut détenntoer direeiement les rarines fractionnaires de la proposée. Cette reeherebe est fondée sur h proposition suivante, dont la démonstration ne saurait embarrasser le lecteur.
•••• Théorème V. — Si la firaciùm irréducHbie j est racine d'une équation f (x) = 0 , à coeffidenU entiers : 1* a divise le dernier terme; 2* (3 divise te coefficient du premier terme; 5* le quotient de f (x), par Px — a j est un polynôme à coefficients entiers.
^I* Application. — Soit, comme précédemment,
f(x) = 21x* — 4lx^ -H 45x»— 24x + 4 = 0.
Les fractions à essayer sont J» {, |, *. *- Les eoeffi-
cients des quotienls correspondants sont, par la règle connue (tftO, II).
2i — 54 » » » — n'est pas racine.
21 — 38 » » » — n'est pas racine.
24—27 + 27 — 6 0 - est racine (*).
21 — 2i -H 21 0 - est racine.
lilnite dn Bombre des raeln^a fraction va Ires.
sot. Le Théorème II s applique aux racines fractionnaires comme aux racines entières, pourvu que n soit premier avec le coefficient du premier terme de f(pc) (**).
