CHAPITRE XVI

i^BdltlOBS aux^nellMi ■atlsfOBi le« racines eBCIèrca*

99&« Théorème I. — l** Toute racine entière, d'une équation

à coefficients entiers, divise :

Le dernier terme.

Le coefficient de x augmenté du quotient de la première division.

Le coefficient de x^ augmenté du quotient de la deuxième division.

Le coefficient de x"~ * augmenté du qtwtient de la (m— -1 )**^ division;

2" Le quotient de la dernière division est égal au coefficient du premier terme, pris en signe contraire;

3" Tout entier y qui jouit des propriétés précédentes, est racine de Véquation.

Soit a une racine entière de Téquation (1). En représentant par

BoX— * -H B,*— • -+- B,x"-» -> H B«,x -4- B«|

le quotient du premier membre par x— a, nous aurons (tM):

Ao = Bq, A4 = B| — BoO, A, = Bi — B^a, ...,) A,, = B«, — B«ta, A^ = — B«ia. )

Ces diverses égalités, dans lesquelles Bq, B|, Bj, ...» B. sont évidemment entiers, donnent

"•»-l> "«-IJ •.-5

= — Bo» — Bo = — Ao;

on sorte que les deux premières parties du théorème sont démontrées.

D'ailleurs, Télimination de B|, B2, B3, ..., entre les équations (3), conduit à

A^ -♦- A»,a -H A.,a* -♦- — -+- A,a"^* -♦- Aoa" = 0;

donc tout entier, qui satisfait aux conditions énoncées, est racine.

■eckerclie des raelnea entières.

9^%* La détermination des racines entières résulte, immédiatement, du théorème précédent. En efiet, après avoir cherché une limite supérieure et une limite inférieure des

racines (•&4), on formera tous les diviseurs du dernier terme de Téquation, compris entre ces deux limites, et Ton rejettera successivement ceux qui ne satisfont pas à toutes les conditions indiquées ci-dessus : les diviseurs restants seront les racines entières cherchées (*).

Les exemples suivants montrent suffisamment la marche h suivre.

•87. Applications, — L Trouver les racines entières de l'équation

On peut prendre pour limites — 7 et H- 6. Les diviseurs de 30, compris entre ces deux quantités, sont, en excluant + 1 et — 1 :

Le calcul se dispose ainsi {**) :

Diviseurs . . .

Qttoiienu . . .

Dividendes . .

Quotienu . . .

Dividendes . .

Quotients . . .

Dividendes . .

- iO

Quotients . . .

(*) On De soumet pas à ces essais les diviseurs + 1 et — 1 : il est plus court, pour ceux-ci, d'employer la substitution directe.

(**) Les diviseurs, au lieu d'être essayés simultanément, peuvent Télre successivement. Ce second procédé, souvent plus expédilif que le premier^ est moins régulier que celui-ci.

Les racines entières sont + 5 et — 6. Le quotient de f{x) par X + 6 est, d'après les équations (3) (t^ft),

2a:»— 8x*— Mx-4-5.

De plus, ce polynôme, divisé par x — 5, donne

IL Trouver les racines entières de V équation

f[x) = X» — 4x* — lOlx» -+- i 4x« -h 504x -♦- 576 = 0.

Les racines sont comprises entre — 9 et h- 13. En opérant comme dans Texemple précédent (*), on trouve que les racines entières sont — 8 et h- 12. Par suite,

%%%• Remarques, — L On voit, par le second exemple, que Ton peut faire beaucoup d'essais inutiles. Pour en diminuer le nombre, on s'appuie sur la proposition suivante, dont la démonstration résulte, immédiatement, de la divisibilité algébrique de f{x) par x — a (99ll) :

Si a est racine entière d'une équation f (x)=0, à coefficients entiers, a — 1 divise f(1), e( a-f-1 divise f( — 1).

Dans le dernier exemple :

(*) Voir, ci-contre, le tableau des calculs.

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