DES RACINES COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS
Préllmlnalrea.
SOS. La résolution des équations du premier degré est fondée sur la proposition suivante : On peut remplacer le système de deux équations, par un autre système formé des proposées et de Véquation qu'on obtient en les ajoutant membre à membre, après avoir multiplié l'une d'elles par un facteur constant 1 (B,, Alg,, 65). Ce principe» qui subsiste pour les équations de degré quelconque, peut, étant convenablement modifié, s*appliquer à la recherche des racines communes à deux équations algébriques
En effet, si ces équations ont une racine commune a, celle-ci satisfait à Téquation
F, (x) -*- iFj (x) = 0.
Réciproquement, toute racine commune aux équations
est une racine de Téquation F| (x) = 0. Par conséquent, le svsième (2) équivaut au système (1).
Fias ffraHd «•■imuH dlvlnear de deai poljrndme*.
M4. Avant d*aller plus loin, remarquons que si les équations (1) admettent plusieurs racines communes a, 6, c, ...,
ky leurs premiers membres sont divisibles par le produit
des facteurs correspondant à ces racines, et qu*il en est de même pour les premiers membres des équations (2). Si ion convient d'appeler pltis grand commun diviseur de deux polynômes entiers 9 (x), ^ (x), le produit des facteurs du premier degré, de la forme x — a, communs à ces polynômes, on voit que le plus grand commun diviseur des polynômes F^ (x) et F^ (x), est égal au plus grand commwi dimseur des polynômes Fj(x) et F| (x)-+-iFj(x).
S#&. Les conclusions précédentes subsistent si Ton remplace la constante ^ par une fonction de x, pourvu que cette fonction ne devienne pas infinie pour une valeur de x satisfaisant au système (1) ou au système (2) : en particulier, X peut être un polynôme entier, déterminé de façon que le second système soit plus simple que le premier.
En effet, en supposant le degré de F| (x) égal ou supérieur au degré de Fj (x), divisons le premier polynôme par le second, de manière à obtenir un quotient entier Q et un reste F5(x), de degré moindre que le diviseur. A cause de
F|(x) = F,(x).Qh-F,(x),
si nous prenons i = — Q, le système (2) se réduit à
Gonséquemment, les racines communes aux équations
Fi(x)==0, F,(x)==0, {\)
sont les mêmes que les racines communes aux équations
F3(x) étant le reste de la division de F^ (x)par F^(x); ou, ce qui est équivalent :
