RACINES COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS

Le plus gratid commun diviseur de deux polynômes est le même que le plus grand commun diviseur entre l'un d'eux et le reste de la division de l'autre par celui-ci.

•••• Remarque. — Si F| (x) est exactement divisible parF3(x)9 ce second polynôme est le plus grand commun diviseur. En même temps, toutes les racines de Téqualion F, (x) = 0 appartiennent à F| (x) = 0.

••7. Les raisonnements précédents s'appliquent au système (3), puis è celui qu'on en déduirait comme le syslème (3) a été déduit de (1); etc. Donc, après avoir divisé F, (x) par Fj (x), on divise ce second polynôme par le reste Fj(x), puis ce premier reste par le deuxième, et ainsi de mite, jusqu'à ce qu'on arrive à un reste F„ (x) qui divise exacteTnent le reste précédent : ce dernier reste est le plus grand commun diviseur des polynômes F^ (x), F3(x); et les racines de l'équation F„(x) = 0 sont les racines communes aux équations F| (x) = 0 , Fj (x) = 0.

ZOH. Remarques, — I. Si Ton arrive à un reste numérique, les équations F| (x) = 0, Fj(x)==0 n'ont aucune racine commune; et leurs premiers membres sont dits premiers entre eux.

II. Dans la recherche du plus grand commun diviseur de deux polynômes, on peut, afin de simplifier les calculs, multiplier par un facteur numérique arbitraire, soit un dividende quelconque, soit même un dividende ;}arfte/ quelconque. En effet, l'introduction de ces quantités numériques n'altère pas les facteurs de la forme x — a, communs aux polynômes proposées.

III. Les explications précédentes suffisent lorsque, comme nous Tavons supposé, les deux polynômes donnés sont [mictions d'une seule lettre. La recherche du plus grand commun diviseur de deux polynômes contenant deux ou plusieurs lettres; et, à plus forte raison, la théorie com'

plète du plus grand commun diviseur exigerait des développements dans lesquels nous croyons ne pas devoir entrer. K Application.

F| (x) = 2x» H- X* — X* — î2x* -4- x' -4- ix — 1 , F, (x) = 2x* -I- 3x» H- 4x* H- X — 2.

Voici le tableau des calculs :

2x*-h Sx^H-ix^-t-x— 2

— 2x'— 5x*--3x"-f- ûx'-i-2x— I -H2x'-+-3x*-f-4x'-*- x" — 2x

l4xV

lOx-

Mx-

2x'-HX

La troisième division se faisant exactement, le plus grand commun diviseur des polynômes donnés est

(*) Le premier et le second dividende oot été multipliés par 3; le reste a été divisé par 1 1. Le binôme x ~ 1 n'est donc pas le quotient de F, (jt) par F, (x) : ce quotient serait \x — \,

(*•) Ou plutôt a?« -♦- i a? - i.

RACINES COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS. Ui

Par suite, les racines communes aux équations F^ (x)=Oy F2 (x) = 0, sont données par 2x* ■+- x — 1 = 0. On trouve x = — l,x = 5.

Sta. Remarque. — La méthode des racines commensurables (M^%y MN»)» appliquée aux équations F| (x) =» 0, F2(x) = 09 aurait fait découvrir que les premiers membres sont divisibles par (x + l)(x — ~). Supprimant ce facteur, on serait arrivé aux équations

dont les premiers membres sont premiers entre eux. On voit donc que, avant d'effectuer l'opération du plus grand commun diviseur, sur les premiers membres de deux équations données, on doit cherdier les racines commensurables de ces équations.