J^^"'^' + (- 2 (^ Y~~j +sm2x

sin^. I = ( ^^^±^Ysin^^- + r^^-^'") cos^^

cos-î I = â ) cos-a- +( ^ ) sin* X

ey — e-vY , , + cos^a:.

Ces formules montrent que le sinus et le cjsinus ne peuvent s'annuler que si î/ = 0. Donc toutes les racines de ces fonctions sont réelles et, par conséquent, elles sont connues.

366. Fonctions hyperboliques. — On ^\i{)ii\\Q, sinus ai cosinus hyperboliques les deux fonctions

10 SIk- -= — ; — = ^ ' i.hz- =- cos ;;t =- 5-

Ces fonctions ont pour dérivées

D. Shv = Ch^- T). Chz = Shv.

Elles satisfont à toute une série de formules analogues à celles de la trigonométrie ordinaire. La tnijonomélric hyperbolique n'est pas distincte de la trigonométrie ordinaire, A toute formule de celle-ci correspond une formule de la première, qui s'obtient en rendant les variables purement imaginaires. En vertu des formules (10), le principe de transformation est celui-ci :

Toute formule de la trigonométrie du cercle en donne uj^e de la trigonométrie hyperboli(iue 01 ij remplaçant cos : par Cli:- et sin :• par iSlu.

Bien entendu, cette règle ne s'applique qu'aux fonctions rationnelles en sin x et cos.r. Ainsi, on lire des formules (7) Sh(;:. -f %') ^ SluXlK.'-h Clu-Sbv', CbU. + :-) - CluCiu' + Slu.Sbv', et la relation sin%r + cos-'x == 1 donne

Ch-^- — Sh'^. = 1 .

Les fonctions étudiées dans les numéros précédents sont les plus simples des fonctions d'une variable complexe. La tbéorie générale de ces fonctions sera exposée dans le second volume.