ICI

Intégrons l'équation (ÎO) de 0 à x ; il vient

(11) arc sin x - .r + ï | C ^ | ^^rr\

C^ x-"dx

JoVl —X-

ce qui montre que l'arc sinus est développable pour toutes valeurs (le 1' entre — 1 et + 1 . Mais le développement reste légitime à ces limites, car, si j- = 1, on a (n» 219)

çi x'Hx (2« — 1)!! T. , ^ ^ J,,Vl -x'-~ (2/0!! 2"" ' ^" ' 2*

et (w-r 1) = V élant positif, cette quantité tend vers 0 avec C^.

On peut donc faire x =-- 1 et on trouve la série :

362. Développements en séries des intégrales elliptiques complètes (n" 2i)o). — Soit k' une quantité < 1; en remplaçant x par Asin-^ dans la formule (10), il vient

\i , ,. ■ „ = 1 -r S" ^" sin- '.:; + -gr— r k^ sin^ es + ... Vi — k^ sm2 o '2 '2.4 '

Cette série converge uniformément dans tout intervalle en vertu

du théorème du n° 340, car elle converge si sin 'f = 1, ce qui rend

tous les termes maximum. Intégrons donc cette série de 0 à ^, il

viendra

Cette série converge très rapidement, si k est petit.

D'autre part, en remplaçant x par — k"^ sin- ç dans le développement de Vl+i-, on trouve la série, uniformément convergente pour toute valeur de -f ,

Vl ^^-^sin^ç^l— -^2 sin- -f — ™ A-^ sin^ -f — ^^^A^sin'^cp

et, en intégrant de 0 à - : 2,

E.(^-) - 2I i -(.yj k- - ^2:^ j ^ ^^ __...J

Si k est petit, cette formule se prête aussi au calcul.

■:; 7 Fonctions entières élémentaires.

Exponentielles imaginaires.

363. Définitions. Formules d'Euler. — Nous savons (n» 351 et 352) que, z étant réel, on a

o ni o l2?i)! o (2«-f 1)!

Ces séries convergent pour toutes les valeurs réelles ou complexes de Z-. Ce sont donc des fonctions entières (n° 344). 11 est naturel de conserver, pour représenter ces fonctions, les mêmes symboles dans le cas où la variable est complexe que dans celui où la variable est réelle. Nous prendrons donc les équations (l) couime défuiitions de e^ , sin z et cos z pour toutes les valeurs réelles ou complexes de z.

On vérifie immédiatement que l'on a

(2) cos (— z) = cos ;:•. sin (— z) = sin z. On constate ensuite directement que l'on a

(3) e^' = cosz + i sin z, d'où e- ^' --^ cos ^- — / sin z. De là les formules fondamentales d'Euler

(4) cos z =2 (^*' + ^~ '' y S"^ ^- ="2T qui ramènent les fonctions circulaires à la fonction exponentielle.

364. Généralisation des propriétés fonctionnelles de l'exponentielle et des fonctions circulaires. — En dérivant les séries (1), on obtient immédiatement

(5) \).e^ = e^, D. cos :• = — sin ^-j l)sinv = cos:î. Ce sont les mêmes formules que quand z est réel.

Les règles de dérivation des fonctions composées subsistent sans difficulté quand les variables sont complexes, car la définition générale de la dérivée est la même que quand les variables sont réelles.

Remplaçons, dans la série e^ , z jiar la somme v + z' de deux quantités complexes. On j)eut ordonner la série ainsi obtenue suivant les puissances de z. En elîet, quand on a remplacé toutes les puissances de {% + -•') pai* leurs développements, la série demeure absolument convergente. Elle converge eneclivement quand on remplace z' et ;:•' par leurs modules r et r', ce qui donne une série à termes positifs. Or, dans une série absolument convergente, l'ordre des termes est indifférent (n° 3:20).

].e développement de c-"^-' suivant les puissances de ^ est donné par la formule de Maclaurin. Comme toutes les dérivées sont égales à t'^' pour z ^- 0, il vient

Donc toutes les propriétés fonctionnelles de re.\|)oiienlielle réelle s'étendent à l'exponenlielle imaginaire, car elles se déduisent de l'équation précédente avec la condition e'^ = {.

On peut maintenant vérifier l'exactitude des équations (7; sin (::- 4- ;s') = sin;; cos ^' + cos ^- sin ^',

cos (::- + z') =^ cos ^^ cos z' — sin z sin z', en remplaçant les sinus et cosinus par leurs expressions (4) et en tenant compte de l'équation (6).

Donc toutes les propriétés fonctionnelles des lignes trigonométriques réelles s'étendent aux lignes trigonométriques imaginaires, car elles se déduisent des précédentes en y joignant les équations (4) et les conditions

sinO ^ 0, cosO = 1 , sin a =^f cos ^ =- 0.

365. Décomposition des fonctions précédentes en leurs parties réelles et imaginaires. — Soit ^ = ^' -f xjï, x ei y étant réels. Il vient, par les équations (5) et (2),

(8) e- = ^'^-:-i/'^ e"^ eV' = 6'^(cos j/ + i sin y).

Cette formule montre que e= a pour module e^ et pour argument y. Comme e^nc peut s'annuler .r étant réel, f- ne peut s'annule?- pour aucune valeur réelle ou complexe de z.

L'équation (8) montre que e^ est une fonction péiiodique de période 27îi, c'est-à-dire, que, si k est entier, on a

(9) e--'^-zhTzi ^z

Réciproquement, si l'on a e*+^ -- e^, z sera un multiple de 2tci. En effet, cette équation donne

e*(e^— l)--0, d'où e= ^ \, ^''^(cosî/ + isint/) -= 1, d'où a; = 0 et î/ == S^tt.

Les équations (7) et (3) donnent maintenant

sin [x + yï) = sin x cos yi + cos x sin yi

e'J -\-e-v , . ev — e~v

= sm X ^ \- % cos a:

cos [x -\- yi) = cos x cos yi — sin x sin yi

cos x ^ — X sin X

Les modules du sinus et du cosinus se déduisent de là. On a