CHAPITRE X

Des séries

{. Généralités sur les séries à termes constants. Série,<i absolument cOnvtV' gentes. Délinitions (316). Caractère général de convergence (317). Progression géométrique (318). Addition des séries (319j. Séries absolument

Paragraphes Pages convergentes ; leurs propriétés spéciales (320). Séries semi-convergentes (321) 329

2. Séries n termes positifs. Règles do convergence ou de divergence tirées de la comparaison des séries entre elles (322j. Formation de séries convergentes et divergentes (323). Divergence de S n~^ et de S (" Log »j— i ; convergence de S »— i^^ et de S n—^ hog—^—^n (324;. Critères de convergence et de divergence (32o). Théorème de Cauchy (326). Séries de Bertrand (327). Critères logarithmiques de Bertrand (328). Degrés de convergence ou de divergence (329). Théorème de P. du Bois-Reymond. Impossibilité d'une échelle complète de convergence ou de divergence (330). Application aux séries de Bertrand.

Mise en défaut des critères logarithmitjues (331 ). Exercices . . . 332

3. Séries semi-convergentes. Théorèmes sur leur nature (332-333). Séries à termes alternativement positifs et négatifs (.334). Formation d'une série convergente au moyen d'une autre (333). La somme d'une série semi-convergente dépend de l'ordre des termes (336). Multiplication de

deux séries (337) 34o

4. Séries de fonctions. Convergence uniforme et non-uniforme (338-339). Critère de convergence uniforme (340). Propriétés des séries uniformément convergentes (341). Fonction continue de Weierstrass : i'J sans dérivée ; 2» ayant une infinité de maxima et de minima dans tout intervalle ; .30 n'étant à variation bornée dans aucun (342) .... 349

5. Séries potentielles. Définitions (343). Cercle de convergence (344-345). Fonctions analytiques (340). Dérivation des séries potentielles (347). Théorème d'Abel (348-349). Application à la multiplicalion des séries (350). Série illimitée de Maclaurin (351). Nouvelles expressions du reste

de cette série (352) 35o

6. Développement des fonctions en séries potentielles. Discussion du reste (variables réelles). Considérations générales (353). Développements de e^ (354), sin x et cos x (355). Log ( I -\-xyn (3.56), arc tg x (357), (1 + .«•)>» (3.58-360), arc sin.r (.361). Développements des intégrales elliptiques (362). 361

7. Fonctions entières élémentaires. Exponentielles inuifiinuires. Formules d'Euler (.363). Propriétés de (?- , sin z, cos .i- (364-365). Fondions hyperboliques (366) 369