INTRODUCTION

§ 1. Nombres réels.

1. Nombres rationnels. — Les nombres entiers et les nombres fractionnaires positifs ou négatifs, y compris le nombre zéro, forment Vensemble des nombres rationnels. Nous supposerons que l'on connaît les propriétés les plus élémentaires de ces nombres et que l'on sait effectuer sur eux les quatre opérations fondamentales de l'arithmétique. Toutefois il y a lieu de rappeler ici les propriétés suivantes :

1° L'ensemble des nombres rationnels est ordonné, c'est-à-dire que de deux nombres rationnels différents a et b l'un est plus grand que l'autre, par exemple b est plus grand que a, ce qu'on écrit

a <i b ovl b y a.

La notion d'ordre exprimée par cette relation se réduit d'ailleurs à cette seule propriété du signe d'inégalité que si a est < i et è < c, on a aussi a < c.

2° Entre deux nombres rationnels différents « et 6 on peut toujours en intercaler une infinité d'autres > que l'un et < que l'autre. On dit qu'un ensemble de nombres qui jouit de cette propriété est un ensemble dense et cette propriété s'appelle la densité.

2. Nombres irrationnels. — L'introduction des nombres irrationnels repose sur les considérations suivantes :

Supposons que par un procédé quelconque, et nous allons en indiquer plusieurs, on ait partagé tous les nombres rationnels en deux classes, une classe inférieure 0. et une classe supérieure SB, telles que tout nombre a de la première soit - que tout nombre b de la seconde. D'abord il est clair, ce partage étant fait, que, si le nombre a est de la classe a, il en sera de même pour tout nombre < a et que, si b est de la classe S, il en sera encore de même pour tout nombre ;,> b. Ce premier point admis, je dis qu» trois cas pourront se présenter :

1° La classe inférieure d renferme un nombre m plus grand que tous les autres de la même classe, de sorte que tout nombre < m est de la

classe d et tout nombre > m de la classe cB, Le nombre m sépare donc la classe d de la classe SB et nous l'appelons le noinbre fronth^re des deux classes.

2° La classe supérieure 18 renferme un nombre m plus petit que tous les autres de la même classe. Dans ce cas encore, m est la frontière des deux classes : tout nombre < m est do la classe il et tout nombre > m de la classe S>.

Ces deux premiers cas s'excluent l'un de l'autre, car s'il y avait deux nombres frontières différents ru et m\ tous les nombres compris entre in et ?/z' seraient à la fois de la classe d et de la classe S, ce qui est en contradiction avec la définition de ces classes. Donc, s'il y a un plus grand nombre dans la classe d, il n'y en a pas de plus petit dans la classe cB, et réciproquement.

Ces deux premiers cas sont faciles à réaliser. Il suffit de se donner un nombre quelconque >w, on range les nombres < in dans la classe d, les nombres > m dans la classe «B. Le nombre m peut encore se ranger dans l'une ou dans l'autre. On obtient ainsi, à son choix, le premier ou le second des deux cas que nous venons d'examiner.

.']" Enfin il peut se faire qu'il n'y ait ni de plus grand nombre dans la classe d ni de plus petit nombre dans la classe «B. Des considéi-ations très simples conduisent à un semblable [)artage. Soit, par exemple, ra un nombre • 0 non carré parfait ; tous les nombres rationnels pourront se ranger en deux classes d et «B, la classe d contenant tous les nombres négatifs et les nombres positifs dont le carré est < w, la classe »B les nombres positifs dont le carré est > m. Il n'y aura pas de i)lus grand nombre dans la classe d, car, étant donné un nombre quelconque a dont le carré est < m, on peut en trouver un autre plus grand en extrayant la racine carrée de m par défaut avec un nombre suffisant de décimales pour que le carré de cette racine soit plus rapproché de m que ne l'est «-. Pour une raison analogue^ il n'y aura i)as de plus petit nombre dans la classe cB.

Lorsque cette circonstance se présente, il n'y a plus de nombre frontière séparant les deux classes, car ce nombre ne pourrait ê(re que le plus grand de d ou le plus petit de sB. Nous intercalerons alors dans l'ensemble des nombres rationnels un nouvel c/émoit, défini par la condition d'être plus grand que tous les nombres de d et plus jietit que tous ceux de cB, et nous dirons que ce nouvel élément est un nombre irrationnel.

L'ensemble des nombres irrationnels correspond à tous les partages possibles des nombres rationnels en deux classes d et «B jouissant des propi'iétés que nous venons d'examiner. Désormais tout nombre irrationnel pourra être représenté par une lettre. Soit a le nombre irrationnel qui s'intercale entre les deux classes d et «B de nombres rationnels ; nous dirons en abrégé que le nombre i est dé/rtii par le parUige (d,éBi.

Lorsqu'un nombre irrationnel a est compris entre deux nombres rationnels a et h dont la différence est égale ou inférieure à une fraction positive £, on dit que a et h sont des valeurs approdiées par défaut ou par excès de a à moins de £ près. Un nombre irrationnel x étant défini, on peut toujours en trouver des valeurs aussi rapprochées que l'on veut, ainsi qu'il résulte du théorème suivant :

Soit a le nombre irrationnel défini par le partage (d., %) ; quelque petite que soit lo. fraction positive z, on peut trouver respectivement dans les classes Gi et S> deux nombres a et b dont la différence soit égale à t.

En effet, soit «i un nombre de d, la progression

ai, rt) + £, <7i + 2s, rt, +3£,...

croissant indéfiniment, renfermera un premier terme de la classe aB, par exemple a^ + '^- = b. Le nombre précédent a ^ a^ -\- {n — l)s sera de la classe d et ces deux nombres a. et b satisferont aux conditions du théorème,

3. Nombres réels. — L'ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels forme l'ensemble des nombres réels.

Pour Vordonner, il faut indiquer les relations de grandeur entre ses éléments. Pour cela, il ne reste plus à définir que celles entre nombres irrationnels.

Soit a un nombre irrationnel défini par le partage (d,sB) ; un nombre irrationnel x' sera égal à a, s'il est défini par le même, partage, c'est-àdire s'il est aussi supérieur à tous les nombres de 3. et inférieur à tous ceux de SB ; mais a' sera différent de -j. s'il existe un nombre rationnel compris entre eux. Ainsi x' sera y. s'il est > qu'un nombre de îB, il sera ^ -/ s'il est < qu'un nombre de d.

Les théorèmes suivants prouvent que la densité est aussi une propriété de l'ensemble des nombres réels :

I, Entre deux nombres réels différents, on peut toujours iûtercaler un nombre rationnel et, par suite, une infinité.

Si les deux nombres sont irrationnels le théorème se confond avec la définition même de l'inégalité. Si l'un des nombres est irrationnel et défini par le partage id,âB), tandis que l'autre est rationnel, celui-ci sera de la classe £1 ou de la classe ôB et ne pourra être ni le plus grand de d ni le plus petit de cB, la conclusion est donc la même. Enfin, le théorème est supposé connu (n° 1, 2") si les deux nombres tont rationnels.

II. Entre deux nombres réels différents on peut aussi intercaler tm nombre irrationnel et par suite une infiMxté.

Comme on peut commencer par intercaler deux nombres rationnels en

vertu du théorème précédent, on peut supposer a p7'iori que les deux nombres proposés soient rationnels. Désignons-les par p et q et supposons, pour fixer les idées, p > t? > 0. Soit m un nombre rationnel non carré parfait compris entre p' et q^. Rangeons dans la classe d les nombres rationnels dont le carré est < m, dans la classe SB ceux dont le carré est > w? ; le partage (â,oB) définit un nombre irrationnel compris entre p et q. Les autres cas se ramènent aisément au précédent.

Enfin, l'ensemble des nombres réels jouit d'une propriété que ne possédait pas l'ensemble des nombres rationnels et que l'on peut exprimer par le théorème suivant :

III. Si, jica^ un 2yrocédé quelconque, on partage V ensemble des nombres réels en deux classes A et B, telles que tout nombre de la première soit < que tout nombre de la seconde, il existe nécessaireinent un nombre frontière, rationnel ou non, m, tel que tout nombre < m soit de la classe A et tout nombre > m de la classe B.

Considérons le partage des nombres rationnels en deux classes d et cB que l'on obtient en rangeant dans d tous les nombres rationnels de A et dans «B tous les nombres rationnels de B.

S'il y a un plus grand nombre m dans la classe d ce sera aussi le plus grand de la classe A. En effet, tout nombre rationel > m est de la classe cB et par le fait même aussi de la classe B ; tout nombre irrationnel > m étant supérieur à une infinité de nombres rationnels > m qui sont déjà de la classe B, sera a fortiori de cette classe. Donc m est le plus grand nombre de la classe A.

On montre de même que s'il va un plus petit nombre ?)i dans la classe è&, ce sera aussi le plus petit de la classe B. Dans ces deux premiers cas le nombre m sera donc le nombre frontière des deux classes A et B et ce nombre sera rationnel.

Enfin, s'il n'v a ni de plus grand nombre dans d ni de plus petit dans 'S, le partage (d, c&) définit un nombre irrationnel a. Celui-ci est de la classe A ou de la classe B. Supposons-le de la classe A ; je vais montrer que ce sera le plus grand de cette classe. En effet, tout nombre > i est aussi i)lus grand (ju'une infinité de nombres rationiiels de la classe JB qui sont par le lait morne de la classe B. Donc tout nombre a fait partie de la classe B et a est le plus grand de sa classe. On montre de même que si a est de la classe B, il est le plus petit nombre de cette classe. Dans les deux cas, le nombre a est donc la frontière des deux classes A et B et cette frontière est irrationnelle,

!^ 2. Généralisation des opérations de Tarithmétique.

Les considérations précédentes laissent encore incomplète la définition mathématique des nombres irrationnels, il reste à y ajouter les définitions des quatre opérations fondamentales de l'arithmétique.

4. Symétrique d'un nombre réel. — Nous appelons symétrique d'un nombre rationnel ce nombre changé de signe. La définition peut s'étendre aux nombres irrationnels. Soit a un nombre irrationnel défini par le partage (d, S>) ; désignons par — cB la classe formée par les symétriques des nombres de S> et par — dla classe formée par les symétriques des nombres de d ; tout nombre rationnel étant le symétrique d'un autre et tout nombre de la classe — â5 < que tout nombre de la classe — d, le partage ( — éB, — d) définit un nombre irrationnel que nous désignerons par — a et que nous appellerons le symétrique de a. On aura encore d'après cette définition — ( — a) = a.

5. Nombres positifs et négatifs. Valeur absolue. — Les nombres positifs sont ceux qui sont 0 el ils sont alors > qu'une infinité de nombres rationnels également positifs. Les nombres négatifs sont ceux qui sont < 0 et ils sont alors < qu'une infinité de nombres rationnels négatifs. Si un nombre est négatif, son symétrique est positif. Celui des deux nombres a ou — 2 qui est positif s'appelle la valeur absolue de a et se désigne par |a .

6. Inverse d'un nombre réel. — Soit a un nombre différent de zéro ; s'il est rationnel son inverse est . Supposons a irrationnel ; alors a partage tous les nombres rationnels de même signe que lui en deux classes d et cB, dont la connaissance suffit évidemment pour le définir. Désignons

par - la classe formée par les inverses des nombres de oB et par — la classe formée par les inverses des nombres de d. Tout nombre rationnel autre que zéro étant l'inverse d'un autre, le partage (-, -x) ^Q tous les nombres rationnels de même signe que a en deux classes définit un nombre irrationnel de même signe, que nous désignerons par — et que nous appellerons encore l'inverse de 'x.

7. Addition. — Soient a et a' deux nombres réels quelconques. Désignons par a et a des nombres rationnels quelconques respectivement que a et< que a', paré et^' des nombres analogues respectivement > que a et > que a'. Tous les nombres de la forme a -\- a' seront < que ceux de la forme b -\- b' . D'ailleurs on pourra supposer (n° 2) les valeurs de a et de 6 suffisamment rapprochées de a, celles de a' et de i' suffisamment rapprochées de a', pour que les différences h — a, V — a' et par suite [b -|- b') — (a 4" a') deviennent aussi petites que l'on veut.

Je dis qu'il existe un nombre réel a" et un seul > que tout nombre de la forme a -\- a' et ■^' que tout nombre de la forme b -\' b' Qi dont ces deux sommes représentent des valeurs aussi rapprochées que l'on veut par excès ou par défaut. Ce nombre a" s'appelle la somme de a et de a' et se désigne par -i -\- a'.

En effet, considérons le partage iA,B) de tous les nombres réels en deux classes, la classe A contenant ceux qui ne surpassent pas tous les nombres de la forme a + a' et la classe B les autres nombres. En particulier, tous les nombres de la forme a + «' sont de classe A et tous ceux de la forme h + 1/ de la classe B. Comme il n'y a pas de plus grand nombre de la forme a ~\- a' ni de plus petit de la forme J + i', le nombre frontière a" entre les deux classes A et B sera plus grand que tous les premiers et plus petit que tous les seconds. Il reste donc seulement à montrer que le nombre qui jouit de cette propriété est unique. A cet effet, remarquons que s'il existait deux nombres fixes toujours supérieurs aux nombres a + «' et inférieurs aux nombres b -\- b', on pourrait trouver deux nombres rationnels r et r' compris entre ces nombres fixes et qui jouiraient de la même propriété. Or ceci est impossible, car on peut supposer la différence [b -\- b') — {a -\- a') inférieure à r — r'.

Cette définition de l'addition permet de vérifier immédiatement que l'on a conservé les propriétés fondamentales de cette opéi'ation, exprimées par les équations suivantes :

OL -\- a.' = a' ~\- a^

a+(-.)=0, h + ^'l <■ hl -f l«'.'.

8. Multiplication. — Soient a et a' deux nombres positifs ; désignons encore par a et b, a' et b' des nombres rationnels et positifs (juelconques assujettis à vérifier les inégalités :

a <ct <b, «' < a' < b'.

Tous les produits de la forme aa' seront < que ceux de la forme bb' et l'on pourra supposer les différences b — a, b' — a' el bb' — aa' aussi petites qr3 l'on voudra. On montrera, en raisomiant comme dans le cas de l'addition, qu'il existe un nombre réel, positif et un seul a" - que tout produit de la forme rm' et < que tout produit de la forme bb'. Ces produits peuvent être supposés aussi rapprochés qu'on veut du nombre a". Celui-ci se nomme le produit des nombres a et 2' et se désigne par aa'.

Si l'un des deux nombres a, % ou tous les deu.x sont négatifs, la définition du produit se ramène à la précédente par la règle des signes, c'està-dire par les relations

ti' = — a ( — a') = ( — ï; ' — X j.

Ces définitions permettent de vérifier immédiatement que l'on a conservé les propriétés de la multiplication, exprimées par les relations générales :

aa = a a.

(aa') a" = a(a'a"), a (a' + a") = aa' + aa",

ot.O = 0,

a.l = a, I aa' I = 1 a I | a' | .

On observera encore qu'un produit de plusieurs facteurs ne peut être nul que si l'un des facteurs est nul et qu'il est toujours nul dans ce cas.

9. La soustraction est l'opération inverse de l'addition. Soustraire a' de a c'est déterminer le nombre qu'il faut ajouter à a' pour obtenir a. Ce nombre s'appelle la différence de a et a' et on le désigne par a — a'. Pour le déterminer, posons x =^ '■x — a' ; on aura la condition a' + a; = a, et, en ajoutant — a' aux deux membres, on obtient, parles propriétés de l'addition, a; = a -|- ( — a'). Donc la différence a — a' s'obtient en ajoutant à a le symétrique de a'. Cette règle ramène la soustraction à l'addition et prouve que cette opération a toujours une solution et une seule.

10. La division est l'opération inverse de la multiplication. Diviser a par a' c'est déterminer un nombre dont le produit par a' reproduise a. Ce

nombre s'appelle le quotient de a par a' et se représente par — ; pour le

déterminer, posons a; = -: ; on aura la condition jc a' ==: a. Si a n est

pas nul, on peut multiplier les deux membres de cette égalité par —, et on

en tire, parles propriétés de la multiplication, ^ = a |-^l. Donc le quotient de a par a' est égal au produit de a par l'inverse de a'. Cette règle ramène la division à la multiplication et prouve que cette opération a toujours une solution et une seule, pourvu que le diviseur soit différent de zéro.

^ 3. Limites.

1 1 . Continuité de l'ensemble des nombres réels. — Les nombres réels, c'est-à-dire les nombres tant rationnels qu'irrationnels, servent à exprimer la mesure des grandeurs continues, longueurs, aires, volumes, etc. On dit aussi que l'ensemble des nombres réels est un ensemble continu et l'on peut, au point de vue mathématique, délinir la continuité de cet ensemble par les deux propriétés suivantes :

1° Entre deux nombres réels différents on peut toujours en intercaler une infinité d'autres > que l'un et' < que l'autre.

2° Si l'on partage tous les nombres réels en deux classes A et B, telles que tout nombre de A soit < que tout nombre de B, ces deux classes seront séparées par un nombre frontière m qui sera le plus grand de A ou le plus petit de B, mais tout nombre --^ m sera de la classe A et tout nombre > m de la classe B.

Nous avons montré dans un paragraphe précédent (n" 3) comment on peut démontrer ces propriétés en toute rigueur, en les faisant reposer sur des définitions purement abstraites. C'est sur elles qu'est fondée la théorie des limites.

12. Limites. — On appelle variable une qucnlilé qui peut recevoir une infinité de valeurs différentes. Soit u une variable qui passe par une infinité de valeurs réelles, rationnelles ou non,

on dit que cette variable tend vers une limite déterminée, si les valeurs de u se rapprochent indéfiniment d'un nombre déterminé o, de telle sorte que la diflérence [Un — a) finisse par décroître en valeur absolue en dessous de toute fraction donnée z si petite qu'elle soit. On dit alors que u a pour limite a et l'on écrit

V»<*> // — fe a.

Suivant cette définition, une même variable ne peut pas tendre vers deux limites différentes a et b, car, après avoir supjmsé £< ~ , on pourrait aussi supposer, dans ce cas, \ u — a \ et | u — /; | tous deux c, alors leur dilTérence \b — a\ serait <.2£, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse faite sur s.

Il suit encore de la définition de la linntc que si u a |)our limite a, (m — a) aura pour limite zéro et réciproquement.

13. Caractère général de convergence. — La condition nécessaire et suIJisanlc pour que la variable u tende vers u)ie limite déterminée est que l'on puisse toujours trouver un terme suHisammotl éloigné dans la suite des valeurs successives de u pour qu'il diU'ère aussi peu que l'on veut de tous les termes suivaiits.

Cet énoncé doit être entendu en ce sens qu'à tout nombre positif t, si petit qu'il soit, corresjiond un indice n, tel que la condition

ait lieu pour tous les indices [n -\- p) supérieurs à n.

1" Cette condition est nécessaire, car, si les valeurs de u se rap-

proclient indéfiniment d'un même nombre (i, elles se rapprochent aussi indéfiniment les unes des autres.

2° Cette condition est aussi suffisante.

Supposons d'abord qu'il existe un nombre a, tel que la variable u ne devienne jamais ni définitivement supérieure ni définitivement inférieure à a. Dans ce cas, u aura pour limite a, car, les valeurs de u suffisamment éloignées dans la série se rapprochant autant que l'on veut de l'une d'entre elles et par suite les unes des autres, elles se rapprocheront aussi indéfiniment de a qui reste toujours compris entre certaines de ces valeurs.

En second lieu, s'il n'existe aucun nombre jouissant de cette propriété, ils se partagent tous en deux classes, l'une A renfermant ceux auxquels u finit par devenir définitivement supérieur, l'autre B ceux auxquels u devient définitivement inférieur. Ces deux classes existent toujours, puisque les valeurs de u finissant par se rapprocher autant qu'on veut les unes des autres, ne peuvent ni croître ni décroître indéfiniment. Soit a la frontière de ces deux classes; quelque petit que soit s, u finira par rester compris entre a — £ et a -\- z, car le premier nombre est de la classe A et le second de la classe B. Donc M a pour limite a.

14. Caractère particulier de convergence. — Si la variable varie toujours dans le même sens, la condition nécessaire et suffisante pour qu'elle tende vers une limite est que sa valeur absolue ne puisse pas surpasser un nombre fixe.

Cette condition étant évidemment nécessaire., il suffit d'établir qu'elle est suffisante.

Supposons, pour fixer les idées, que la variable u ne varie qu'en croissant. Comme il y a par hypothèse des nombres que u ne peut pas surpasser, tous les nombres réels se partageront en deux classes A et B, la première renfermant ceux que u peut surpasser, la seconde ceux que u ne peut pas surpasser. Il n'y a pas de plus grand nombre dans la classe A ce qui impliquerait contradiction, donc le nombre frontière a est le plus petit de la classe B. Quelque petit que soit s, a — t est de la classe A et u finit par rester compris entre a — s et a, Donc u a pour limite a.

On énonce souvent le théorème précédent en disant qyi'une variable qui varie toujours dans le même sens tend nécessairement vers une limite finie ou infinie.

15. Principes de la théorie des limites. ' — I. La Imite d'une sommey d'une différence, d'un produit de variables qui tendent vers des limites déterminées est éf/ale à la somme, à la différence, au produit de ces limites. La limite d'un quotient de variables qui tendent vers des limites déterminées, est égale au quotient de ces limites, pourvu que la limite du dénominateur soit différente de zéro.

Ces propositions se démontrent toutes de la même façon, choisissons la dernière comme exemple. Soient deux variables x et // ayant respectivement pour limites a et b ; on pouri'a poser

a; = a + a, y = b-i-'ii, a etjp ayant pour limite zéro. On en tire

X a a -}- a a cub — ^ia

Si b est diflérent de zéro, cette dernière quantité peut être rendue

ûi a

aussi petite que l'on veut avec a et [îi, donc - a pour limite y

De la combinaison des propositions précédentes, on déduit le théorème suivant :

II. Soit R (a;, </,...) une expression rationnelle quelconque des variables x,y,..., c'est-à-dire une expression dont le calcul ne comporte que les quatre opérations fondamentales ; si les variables x,y,... ont respectivemeiit pour limites a,b,..., R{x,y,...) aura pour limite R {a,b,...).

Ce théorème est soumis toutefois à cette restriction que, si parmi les opérations à efléctuer sur les nombres a,b,... ligure une division, le diviseur ne soit pas nul.

III. Si deux variables restent constamment égales et si l'une tend vers une limite déterminée, l'autre tend vers la même limite.

En effet, si u a pour limite a, u — a décroit indéOniment; si u = v, V — a = u — a décroît aussi indéfiniment et t; a aussi pour limite a.

IV. Une quantité variable qui reste constamment comprise entre deux autres qui ont la même limite a, tend aussi vers la limite a.

En effet, si w est compris entre deux variables u et y qui tendent vers a, IV — a sera compris entre u — a et v — a qui décroissent indéliniment et décroîtra lui-même indéliniment. Donc w a pour limite a.

16. Méthode des limites. — Lor.squ'on a obtenu une relation entre

— Aides variables qui subsiste pour toutes les valeurs des variables, on peut, en s'appuyant sur les principes précédents, y remplacer les variables par leurs limites. Cette opération porte le nom de passage à la limite. Cette nouvelle opération qui s'ajoute aux quatre opérations fondamentales de l'arithmétique, caractérise Vaualyse infinitésimale.

La méthode des limites consiste à trouver des relations entre les quantités par passage à la limite.

La méthode des limites se décompose en plusieurs branches suivant la nature des variables que l'on considère dans ce passage à la limite (séries, produits infinis, fractions continues, calcul différentiel, calcul intégral).

17. Méthode infinitésimale. — Lorsqu'une quantité variable a pour limite zéro, on dit que c'est une quantité infiniment petite ou un infiniment petit. Au contraire, une quantité intiniment grande est une quantité variable qui augmente au-delà de toute limite assignable.

La méthode infinitésimale est celle où l'on se sert de la considéralion des infiniment petits. Dans le calcul différentiel, on considère les quantités comme limites du rapport de deux intiniment petits. Dans le calcul intégral, on les considère comme limites d'une somme d'un nombre indéfiniment croissant d'infiniment petits.

Dans les questions où on les considère, on établit le plus souvent, entre les divers infiniment petits que l'on rencontre, une classification très importante, qui s'appuie sur les définitions suivantes :

On dit qu'une quantité a est infiniment petite par rapport à une

autre 3, lorsque le rapport -^ a pour limite 0. Au contraire, les deux

P infiniment petits sont du même ordre si leur rapport a une limite finie

et différente de zéro.

Dans beaucoup de questions, on est amené à choisir un infiniment

petit particulier a, que l'on appelle infiniment petit principal, et qui

sert il classer tous les autres. Un infiniment petit du même ordre que

a s'appelle alors du premier ordre et un infiniment petit de l'ordre do

y. est de l'ordre r.

1 8. — Les avantages de la méthode infinitésimale résultent de deux principes fondamentaux, connus sous le nom de principes de substitution des infiniment petits.

l. La limite du rapport de deux infiniment petits y. et [i n'est pas

— inchangée quand on leur substitue respectivement deux autres infiniment petits ol' et (S', pourvu que les rapports -j- et -L- aient pour limite l'unité.

Eu effet, de l'identité

on conclut par les principes de la méthode des limites

La remarque suivante sert souvent à reconnaître que le rapj)ort de deux infiniment petits tend vers l'unité :

Si [B reste compris entre deux infiniment petits a et a' dont le rapport tend vers l'unité, il en sera de même des rapports ,j : a et (3 : a'.

En effet, en divisant l'inégalité

par a supposé positif, il vient

et, comme a' : a est supposé tendre vers l'unité, il suit principe IV (n*» 15) que [i : a tend vers l'unité. La même démonstration s'applique au rapport [i : a',

IL La limite d'une somme d'infiniment petits de même sujne

a, , ao a^i, donl le nombre n aiu/metite indéfiniment, n'est ])as

changée qttand on remplace ces infiniment petits par d'autres {ji,,jo, t^H, pourvu que tes rapports ,3, : a, tendent uniformément vers l'unité.

Le mot uniformément doit être entendu eu ce sens que, (juelque petite que soit la fraction donnée £, on peut prendre n assez grand l)Our qu'on ait, quel que soit l'indice »,

S'il en est ainsi, on aura, en supposant les y. positifs, (l e)a, <: p, < (l-fe)a/ ; puis, en additionnant toutes les inégalités semblables,

(i - t, ïa, < V|ij. .^^ (1 + ^] vg,.

et, par conséquent,

Sa/

D'ailleurs, s étant aussi petit qu'on le veut, on en conclut

ce qui exige que ,3j + [So + '^n et aj + a. + + y.n aient la

même limite finie, nulle ou infinie.

19. Ces deux principes généraux peuvent revêtir un autre énoncé moyennant la remarque suivante :

Quand deux infiniment petits a et y.' ont pour limite de leur rapport Ihinité, leur différence o est infiniment petite par rapport h chacun d'eux, et réciproquement.

En efifet, l'équation o = a — y.' peut s'écrire

Le second membre ayant pour limite zéro, il en est de même du premier et o est infiniment petit par rapport à a'. Réciproquement si § est infiniment petit par rapport à a', o : a' tend vers zéro, et par conséquent, a : a' tend vers l'unité.

Les principes de substitution peuvent donc aussi s'énoncer comme il suit :

On peut, sans changer la limite d'un rapport ou d'une somme d'infiniment petits, négliger dans chaque ternie une quantité infiniment petite par rapport à lui.

Toutefois l'énoncé de ce principe doit être complété dans le cas d'une somme par la condition contenue sous le mot uniformément dans l'énoncé primitif.

L'utilité de ces principes consiste en ce qu'ils permettent de négliger dans bien des cas itrécisément 1^ parti^des infiniment petits qui font la difiiculté du problème.

^ 4. Des fonctions et de la continuité des fonctions d'une variable réelle.

20. Des variables en général. — Soit x une variable réelle, c'est-àdire une quantité qui peut recevoir une infinité de valeurs réelles.

On dit que celte variable est bornée supérieurement si l'on peut assigner un nombre M que cette variable ne peut pas surpasser. Dans ce cas, il existe un plus petit nombre que x ne peut pas surpasser. En effet, tous les nombres se partagent en deux classes A et B, la première renfermant les nombres que x peut surpasser, et la seconde ceux que X ne peut pas surpasser. 11 n'y a pas de plus grand nombre dans la classe A, ce^qui impliquerait contradiction, car si x est > a, il surpasse encore une infinité d'autres nombres > a ; donc le nombre frontière est le plus petit de la classe B. Ce plus petit nombre que .r ne peut pas surpasser s'appelle la limite supérieure de la variable.

On dit de même qu'une variable est bornée inférieuremcnt si l'on peut assigner un nombre m en dessous duquel elle ne jieut i)as descendre. Dans ce cas, il y a un plus grand nombre, jouissant de cette i)ropriété et il s'appelle la limite injérieure de cette variable.

On dit que ces limites sont accessibles, si l'on peut attribuer à la variable ses valeurs limites. Si on ne le peut pas, ces limites sont inaccessibles. Supposons, par exemple, que x désigne une fraction proprement dite quelconque, les limites inférieures et supérieures de X seront 0 et 1, mais ces limites seront inaccessibles, puisqu'elles ne sont plus fractionnaires.

On dit que la variable x varie dans l'intervalle {a, b), lorsqu'elle peut recevoir toutes les valeurs comprises entre a et b, y compris ces valeurs extrêmes. Nous supposerons toujours, sauf indication contraire, que Ton art b. Ces noniDres sont donc les limites inférieures et supérieures de x et elles sont accessibles.

Si X reçoit toutes ces mêmes valeurs sauf la seule valeur a, ou bien sauf la seule valeur /^ ou bien encore sauf les deux seules valeurs a et b, on écrit respectivement, pour indiquer que ces limites sont alors inaccessibles, que x varie dans les intervalles [a + (», b), ou bien [a, b — 0), ou enfin [o 4- 0, /> — Oi.

La variation de x se présente géométriquement par le déplacement d'un point sur une droite indéfinie 00' ; on porte sur 00' une longueur 0\ X dans un sens déterminé i)ar le signe de x. Sauf indication contraire, on suppose la droite borizontale et les .segments positifs comptés de gauche à droite. l*ar allusion à celte représentation, une valeur particulière de x s'appelle un point, la valeur a; --« le point a, etc.

2 1 . Des fonctions d'une variable. — Etant domiées deux variables

X et </, on dit qu'elles sont fonctions l'une de l'autre dans le sens le plus général, s'il existe une dépendance quelconque entre les valeurs que l'on peut attribuer à ces deux variables. En général, on considère une des deux variables comme indépendante, par exemple x. La valeur dé x peut être choisie à volonté, mais, .t étant donnée, y n'est plus arbitraire. On dit alors que .// est fonction de x et cette dépendance s'exprime par la notation

On étudie dans les éléments des mathématiques un certain nombre de lonclions particulièrement simples, dont les propriétés sont bien connues et que l'on représente par des symboles particuliers. Ce sont les fonctions élémentaires

x'"', Â"^, sin X, etc.

On dit que la fonction f{x) est simple, si elle n'est susceptible que d'une seule valeur pour chaque valeur de x, telles sont A''^, sin x,... Au contraire, la fonction est à déterminations multiples si elle est susceptible de plusieurs valeurs pour chaque valeur de x. Telle est la fonction \/x, qui peut recevoir deux valeurs de signes contraires pour chaque valeur de x.

On classe les fonctions en fonctions explicites et implicites suivant que la relation entre y ei x est donnée par une équation résolue par rapport à la fonction // ou non résolue par rapport à cette fonction ; en fonctions algébriques ou transcendantes suivant que la relation entre y et x peut ou ne peut pas être exprimée par une équation dont les deux membres sont des polynômes entiers en x et en y. Les fonctions algébriques se partagent elles-mêmes en rationnelles ou irrationnelles, suivant que l'équation qui lie y à. x est du premier degré par rapport à y ou ne l'est pas. Une fonction rationnelle s'exprime donc par le quotient de deux polynômes entiers en x ; en pa)ticulier, si elle se réduit à un polynôme, on dit qu'elle est rationnelle et entière.

Lorsque la relation y -- f{x) qui lie y bi x peut être résolue par rapport à x, de telle sorte qu'on en tire x = -^ {y), la fonction -^ [y) s'appelle la fonction inverse de f{x). C'est ainsi que les foiîUons

x"^, A-^, sin^'... ont respectivement pour inverses x'", logA-, mt sina:, etc.

La variation d'une fonction se représente aussi géométriquement.

On trace généralement deux axes rectangulaires OX et OY, par rapport auxquels on détermine les coordonnées xeiy d'un point. L'équation y = f{x) sera généralement celle d'une courbe plane, que l'on considère comme une représentation géométrique de la fonction f{x). Remarque. — Il arrive souvent que l'on est amené à considérer une constante ou bien la variable indépendante elle-même comme des cas particuliers d'une fonction. Il n'y a là rien qui doive surprendre, car ces cas particuliers se rencontrent déjà dans les fontions élémentaires et ce sont même les plus simples. Ainsi, la fonction x"^ se réduit à t pour 771 =-= 0 et à a; pour m = 1 .

22. Oscillation d'une fonction dans un intervalle (a, b). — Si la fonction f{x) est bornée dans l'intervalle (a, b), elle a, comme on le sait (20), une limite inférieiiir m et une limite supérieure M. La différence M — m entre les limites supérieure et inférieure de f'{x) dans l'intervalle {a, b) s'appelle yoscillation de la fonction dans cet intervalle. Si la fonction n'est pas bornée dans l'intervalle {a, b), on dit que son oscillation est infinie dans cet intervalle.

Suivant ces définitions, si l'oscillation de f{x) est finie et égale à M — m dans l'intervalle (a, b) et que l'on partage cet intervalle en plusieurs autres consécutifs par des points intermédiaires : 1") la limite supérieure de la fonction sera encore M dans un au moins des intervalles partiels et ne pourra surpasser M dans aucun ; 2*») la limite inférieure -;^ sera m dans un au moins des intervalles partiels et ne sera inférieure 'i . à m dans aucun ; ::5°)froscillation sera égale à M — ?« dans un au moins v^ des intervalles partiels et jne sera supérieure à M — m dans aucun, f Enfin, si l'oscillation de f{x) est infinie dans l'intervalle (a, b), elle le

sera encore dans un au moins des intervalles partiels.

23. Définitions relatives à la continuité. — I. Lu fonction f{x] est continue nu point a, ou pour x a, si /'(x) a pour limite f{a) quand x tend vers a iFune manière quelconque. — Autrement, f[x\ est conlinue au point a, si cette fonclion est bornée dans l'intervalle {a — 5, a | o) à partir d'une valeur positive suffisammoit petite de o <■/ si rosrillation de f{x) dans cet intervalle a pour limite zéro avec o.

Ces deux définitions sont équivalentes. En efiét, 1°) si /'(x) tend vers f{a) quand x tend vers a, à tout positif nombre t, si petit qu'il soit, correspond un nombre o tel que l'on ait

f{a) - t < f{x) < fia) + £,

sous la condition \ x — a \ < 3. Donc les limites supérieures et inférieures de f{i') dans l'intervalle [a — o, a -\-o) seront comprises entre ces mêmes limites f{a) — e et f{a) + s, leur différence sera < 2î et elle aura pour limite 0 avec 8. 2°) Réciproquement, si l'oscillation de fix) dans l'intervalle (a — 5, a + 5) a pour limite 0 avec o, on pourra, quelquepetitquesojt s, supposer /"(a-) comprise entre f{a) — e et /"(a) -\-z, pourvu que jc le soit entre a — o et « |- o, donc [(x) a pour limite f{a) quand x tend vers a.

On dit que f{x] est continue à droite du point a, si l'on a, h restant positif,

\imf{a + h)=f{a).

Si cette relation a lieu, h restant négatif, on dit que f{x) est continue à gauche du point a.

Donc une fonction continue à droite et à gauche du point a est continue en ce point.

II. La fonction f{x) est continue dans l'intervalle {a, b) si elle est continue par toutes les valeurs de x comprises entre a et b, à droite du point a et à gauche du point b.

On dit que f{x) est continue dans le voisinage du point a, si elle l'est dans l'intervalle (a — s, a + e) à partir d'une valeur positive suffisamment petite de t.

m. Si la fonction f{x) n'est pas continue pour x a ou dans l'intervalle (a, b), on dit qu'elle est discontinue au point a ou dans liniervalle [a, b).

24. Continuité des fonctions composées. — I. La somme, le produit, le quotient de deux jonctions continues au point a ou dans Fintervalle ia, b) sont des fonctions continues en ce point ou clans cet intervalle, à ynoins qu'une fonction prise comme diviseur ne s annule.

Ces théorèmes résultent immédiatement des principes correspondants de la théorie des limites (n" 15), Démontrons, par exemple, le dernier. Soient /(.r) et ¥[x) deux fonctions continues au points; si Y [a) n'est pas nulle et si x tend vers a, la limite du quotient f{x) : Y{x) sera égale au quotient des limites f{a) : F (a). Donc f{x) : F [x) est continue au point a. En second lieu, si f[x) et Y{x) sont continues dans rinlervallo [a, b\ et que Y [x) ne s'annule pas dans cet inter-

valle, le quotient f{x) : ¥{x) sera continu pour toutes les valeurs de x, donc dans l'intervalle {a, b).

II. Soient u =- f{a') ety = ¥ (m) ; si f{x) est continue pour x ~ aet Y{ii) continue pour ii = f{a), y sera fonction continue de x au point a. On a. en effet, x tendant vers a.

lim ¥[f{x)] = F [lim f(x)]=^ F[/"(a)].

Nous concluons de là que les fonctions composées par addition, multiplication, division ou superposition du signe fonctionnel ne peuvent être discontinues que si l'une des (onctions composantes est discontinue ou si l'une des fonctions servant de diviseur peut s'ai\nuler.

25. Discontinuité. — Si la fonction f{j:) est discontinue au point «, on dit que a est un i^oiyit de discontinuité. Ce cas se présente, sous une première forme, si la fonction f[x) n'est bornée dans l'intervalle [a — o, a -\ o) pour aucune valeur de ô si petite qu'elle Foit ; on dit alors que la discontinuité de f{x) est infinie au poi)d a. Sinon, roscillatibn de /"{ce), qui est constante ou décroissante quand o diminue, tend vers une limite déterminée quand o tend vers zéro. Cette limite s'appelle la discontinuité de f[x) au point a.

Cette discontinuité s'appelle la discontinuité totale par opposition avec les discontinuités de f[x) à droite et à gauche du point a. Celles-ci se définissent comme la première, mais en considérant la limite de l'oscillation respectivement dans les intervalles («, a — o) et [a — o, a).

Suivant leurs définitions, toutes ces discontinuités sont donc essentiellement positives. Dire qu'elles sont nulles revient à dire que la fonction est continue au point a.

26. Théorème. — Soit e iin nombre positif; s'il est impossible, en intercalant un nombre convenable de points de sididivison entre a et b, de partager Vintervcdle (a, b) en intervalles consécutifs, de telle sorte que Voscillcdion de f(x) soit < t dans chacune de ces parties consccutives^ il existe dans l'intervalle [a, b) un point au moins où la discontinuité de f[x) est — ou > e. Ce point peut être a ou b, mais ccst cdors la discontinuité à droite du point a ou la discontinuité a gauche du fioint b qui sera -■- ou > i.

Admettons que l'impossibilité supposée dans cet énoncé ait lieu i)our 'l'intervalle irt, b] et partageons cet intervalle en deux autres par son point milieu. L'impossibilité subsistera dans l'une au moins de ';es deux parties, sinon elle n'existerait pas dans l'intervalle total. Soit (ûj, 6,) celle des deux moitiés dans laquelle l'impossibilité subsiste, ou l'une quelconque des deux moitiés si l'impossibilité subsiste dans toutes les

deux. Partageons de même («j, b^) en deux parties égales et désignons par («2, ^o) l'une des deux moitiés dans laquelle l'impossibilité subsiste encore. Partageons {a.,, h„) en parties égales et continuons ainsi de suite. Nous formerons deux suites de nombres «j, a^,., a»,., et h^, b^,.. bu ,.. l'une stationnaire ou croissante, l'autre stationnaire ou décroissante, et tendant vers la même limite c, puisque b,^ — On = {b — «) : 2'' a pour limite 0. Le point c appartient donc a un intervalle {a,i , bn) aussi petit que l'on veut et intérieur à (a, b) dans lequel l'oscillation de f{.r) est = ou > i. Donc la discontinuité au pointe est = ou > 5. Enfin, si c coïncide avec a ou avec b, la discontinuité se détermine en ne tenant compte que des valeurs do f{x) à droite de a ou à gauche de b, ce qui acliève la démonstration du tliéorème.

27. Propriétés des fonctions continues d'une variable. — I. Si f(x) est continue au point a, et ne s'annule pas en ce point, f{x) sera de même signe que f{a'} dans riniervalle [a ^ S, « + o) pourvu qu'on ciwisisse o suffisamment petit .

En effet, f{x) ayant pour limite /(«) quand x tend vers a, on peut choisira assez Betit pour qu'on ait : ^ \^, u

-^^i-iR) \~li0i^4 I A^) - /(<ï) I < I /■(«) I ,^. sous la condition |^ — a | < S. Cela fait, !a somme

fia)+[f[x)-na)],

qui est égale à l\x), smva. le signe de son premier terme fia) dans l'intervalle (a — S, a -\-o).

II. Si f[x) est continue dans V intervalle {a, b), f{x) est bornée supérieurement et inférieurement dans cet intervalle.

Soit X une quantité qui varie depuis a jusqu'à b ; la fonction f(x) étant continue au pomt a, sera bornée par hypothèse dans l'intervalle («, X) pourvu que X soit suffisamment voisin de a (no 23). Soit ; la limile supérieure des valeurs de X pour lesquelles f{x) est bornée dans l'intervalle [a, X), de sorte que la fonction f{x) sera bornée dans l'intervalle (a, z — t) quelque petite que soit la fraction positive s. Cette fonction sera encore bornée dans l'intervalle (ç — s, ç) si l'on suppose s suffisamment petit, puisque f{x) est continue au point ;. Donc, P) la fonction f{x) est bornée dans l'intervalle («, ;j formé par la réunion des deux précédents. Enfin 2°) je di5 que ^ est égal à b, car, si ; était < b, f{x) qui est continue au point ç serait encore bornée dans l'intervalle suffisamment petit (;, ;-{-£), donc dans l'intervalle total [a, ç -\- 1) et i ne serait par la limite supérieure que l'on a supposée.

Ce théorème est aussi une conséquence immédiate de celui du n° 26. Puisque fix) n'a pas de discontinuité dans l'intervalle [a, b], on peut, le nombre positif s étant donné, trouver un mode de division de l'intervalle [a, b) en parties consécutives, tel que l'oscillation de f[x) soit < t dans chacune d'elles. Soit n le nombre de ces parties ; la fonction f[x) restera comprise entre f{a) — m ei f[a) + n z.

III. Si la fondion f{x) est continue dans rintervalle (a, b), ses liinitcs supérieure et inférieure sont toujours accessibles, c'est-à-dire qu'il existe toujours au moins deux valeurs de x dans l'intervalle {a, b) qui don7ient à f{x) ses valeurs maximum et minimum M et m.

Faisons la démonstration pour la limite M. A cet effet, considérons la fonction continue, non négative, M — f{x). Cette fonction peut décroître en dessous de tout nombre positif donné t, puisque f{x) peut surpasser tout nombre inférieur à M. Donc la fonction 1 : \^i — f{x)\ peut surpasser tout nombre assignable et elle n'est pas bornée dans l'intervalle (a, b). Par conséquent, cette nouvelle fonction est discontinue (II), ce qui n'a lieu {n° 24) que si M — f{x) s'annule dans rintervalle (a,/').

IV. Si la fonction f[x) est continue dans l'intervallo (rt, b) et qu'on divise cet intervalle en intervalles jmrtiels consécutifs, à tout nombre positif 2t, si petit qu'il soit, correspond nn nombre o tel que l'oscillation de f{x) dans chaque intervalle partiel soit inférieure à 2z pourvu que V étendue de chaque intervalle partiel soit inférieure à o.

En effet, on peut trouver un premier mode de décomposition, tel que l'oscillation de fix) soit inférieure à £ dans chaque intervalle partiel, sinon la fonction aurait une discontinuité > i en un point de l'intervalle («, b) et ne serait pas continue (n° 26). Soito l'étendue du plus petit de ces intervalles. Si l'on considère un autre mode de subdivision en intervalle • ^, un intervalle de ce second mode de subdivision ne pourra s'étendre sur plus de deux intervalles du premier mode. Donc l'oscillation de la fonction dans cet intervalle ne surpassera pas la somme des oscillations de /'(.r) dans deux intervalles du premier mode. Elle restera, par conséquent, inférieure à £ |- e — 2^

On énonce souvent le théorème précédent en disant qu'une fonction continue dans un intervalle {a, b) l'est unifonnéynent dans cet intervalle.

V. Si lu fonction f{x) est continue dans l'intervalle [a, b) et si /(«) et f(b) sont (le signes contraires, f{x) fi'annule pour une valeur ^ de x comprise dans l'intervalle {a, b).

Remarquons d'abord que f(.v) aura le signe de fia^ pour x suflisamment voisin de a et celui de f{b) pour x sullisamment voisin de b (I).

Donc, si nous désignons par ; la limite inférieure des valeurs de j comprises entre a et b pour lesquelles f{a) et f(x) sont de signes contraires, ; sera > a et < b. On aura f{c) = 0, car si /"(?) avait un signe déterminé, [{ce) garderait ce signe dans l'intervalle (; — B, ç -f S) pourvu que 0 soit suffisamment petit (I), et i ne serait pas la limite inférieure des valeurs de x pour lesquelles f{x) a un signe particulier.

VI. Si la fonction fix) est continue dans Vintervalle [a, b), cette fonction peut prendre, dans l'intervalle {a, b), toute valeur comprise entre t(a)et f{b).

En effet, soit A une quantité comprise entre ces deux valeurs, la fonction continue f{x) — A, prenant des valeurs de signes contraires pour x = a et X = b, s'annulera en un point intermédiaire ; et l'on aura, par conséquent, f{q) = A.

On énonce souvent cette propriété en disant qu'une fonction continue dans un intervalle (a, b) ne peut passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

Exercices.

1. Soit ce une variable positive et [x] le plus grand entier contenu dans X. On considère la fontion ./; — [x]. Prouver : P) qu'elle est discontinue pour les valeurs entières de x et continue pour les autres valeurs ; 2°) que sa limite inférieure est 0 et sa limite supérieure 1, dans tout intervalle comprenant un nombre entier ; 3°) que cette limite inférieure est accessible et cette limite supérieure inaccessible.

2. La fonction sin — est définie, sauf pour a; == 0 ; on lui donne, pour

compléter sa définition, la valeur 0 pour x = 0. Prouver : 1°) que cette fonction est discontinue pour a; = 0 et que sa discontinuité est égale à 2 ; 2°) que cependant, dans tout intervalle comprenant le point 0, la fonction ne peut passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

3. On définit la fonction cp(a;) en posant cp(j;) = —quand x est rationnel et égal à une fraction irréductible ± jo : 5» et 'Mx) — 0 quand x est irrationnel. Prouver : 1" que ':,[x) est continue pour toute valeur irrationnelle de X ; 2°) discontinue pour toute valeur rationnelle ; 3°) que la discontinuité est égale à la fonction elle-même.

Cet exemple prouve qu'il existe des fonctions telles qu'il y ait, dans tout intervalle si petit qu'il soit, une infinité de points où elles sont continues et une infinité d'autres où elles sont discontinues.

4. On peut définir la continuité en un point et dans un intervalle

{a, h) comme au n° 23, mais en ne donnant à la variable indépendante .r que des valeurs rationnelles. Ceci posé, soit f{x) une fonction définie pour les valeuj's rationnelles de x seulement, et continue pour toutes ces valeurs dans l'intervalle [a, h). Existe -t -il une fonction F (.ri, continue pour toutes les valeurs réelles de x dans l'intervalle (r/, b) et qui coïncide avec f[x) pour .r rationnel?

R. Oui, si la continuité de f[x) est uniforme [c'est à dire si la propriété IV du n° 27 s'applique à f[x)] ; non, dans le cas contraire. On le prouvera en montrant que, dans le cas de l'affirmative, f{x) tend vers une limite déterminée ¥{%) quand .v tend vers une valeur irrationnelle a.

§ 5. Fonctions de plusieurs variables.

.28. Des variables, des fonctions et de leurs limites. — Si les valeurs que reçoit la variable // dépendent des valeurs qu'on attribue à plusieurs autres variables .r, </,... on dit que u est une fonclion de ces variables et l'on écrit u = j\x, </,•••)• La fonction est simple ou à déterminations multiples, selon qu'elle est susceptible d'une seule ou bien de plusieurs valeurs pour chaque système de valeurs de x, y,... La fonction est algébrique ou transcendante, rationnelle ou irrationnelle, implicite ou explicite^ comme dans le cas des fonctions d'une seule variable.

On dit que les variables x, y,... varient dans le domaine D limité par les valeurs «, et a^ de x, b^ et b^ de //,.. lorsqu'on peut donner à X, y,., respectivement toutes les valeurs comprises entre ces limites et, de plus, ces valeurs limites elles-mêmes. Les points où l'une des variables au moins prend une de ses valeurs limites forment la frontière du domaine D.

Lorsque les variables {x, y,...) varient dans le domaine D, la (onction f{x, //,...) peut être bornée supérieurement et inférieurement. Dans ce cas, ses limites supérieure et inférieure et son oscillation se délinissent comme dans le cas des fonctions d'une seule variable.

Ce que nous avons dit (n° 21) de ces divers éléments, dans le cas où l'on considère le partage d'un intervalle {a, b) en plusieurs autres, peut évidemment se répéter si l'on considère le partage en plusieurs autres d'un domaine D.

29. Représentation géométrique. — Quand on considère deux variables X et y seulement, leiu- variation simultanée se représente géométriquement par le déplacement d'un point >I du plan qui a pour

coordonnées rectangulaires x et y. Le domaine D limité par les valeurs «i et a.^ de.r, b^ et b, de y est alors figuré par le rectangle dont les côtés ont pour équations .i = ai, x ^ a. et y -^ bi, y =^ b,. Quand x ei y varient dans ce domaine, le point représentatif du système peut prendre toutes les positions comprises dans l'intérieur et sur le contour du rectangle. Par allusion à cette représentation, un système de valeurs de x et y s'appelle un point, le système a, b le -point (a, b), etc. La représentation géométrique s'étend au cas de trois variables à condition de considérer le déplacement du point M dans l'espace. Au delà, la représentation géométrique fait défaut, mais la terminologie que nous venons d'indiquer S'étend au cas général.

30. Définitions relatives à la continuité. — L Une fonction f{x, y,...) est continue au point {a,b,...) si f{x, y,...) a pour limite f [a, b,...) quand X, y,... tendent respectivement vers a, b..., d'une Jiianière quelconque ; ou, ce qui revient au même, si l'oscillation de f{x,y,...) dans le domaine infiniment petit limité par les valeurs a :iz t de x, b ± 7, de y,... a pour limite 0 quand s, y,,... tendent vers zéro.

IL On dit que f{x, y,...) est continue dajis le domaine D limité par les valeurs a^ et a., de x, b^ et b.. de y,.., si elle est continue en toutpoint i)itéi'ieur à ce domaine et en tout point de sa frontière. Seulement, sur la frontière du domaine D, la condition de continuité, exprimée par l'équation

\mfix,y,...) = f[\imx,\imy,...), est seulement relative au cas où les variables tendent vers leurs limites sans sortir du domaine D.

Une fonction f{x, y,...) est continue dans le voisinaf/e d'un point {a, b,...) lorsqu'elle est continue dans un domaine suftisamment petit, comprenant ce point, sans que ce point fasse partie de la frontière de ce domaine.

IIL Lorsqu'une fonction n'est pas continue au point (a, b,...), on dit qu'elle est discontinue en ce point.

31. Continuité des fonctions composées. — L La somme, le produit, le quotient de deux fonctions continues sont des fonctions continues, sauf si une fonction prise comme diviseur s'annule.

La démonstration est la même que pour les fonctions d'une seule variable (n° 24).

II. Si u, V,... sont des foncHons conthiues de x, .//,... et si F (//, v,...) est une fonction continue de u, v,..., V sera aussi fonction continue de x,y....

Faisons tendre x, y,... vers Xo, //o,--- et soient Uo, Vo,--. les valeurs de u, V,... en ce point. Les fonctions étant continues, on aura effectivement :

lim F (m, ?',...) -=- F (Uni //, liin r,...) =- F (Mo, Vo,...) De là nous concluons encore que les fonctions composées de plusieurs variables ne peuvent devenir discontinues que si l'une des fonctions composantes devient discontinue ou si l'on doit faire une division par zéro. Ce résultat généralise celui obtenu au (n^ 24) et le renferme comme cas particulier.

32. Discontinuité. — Si la fonction f[x,y,...) n'est pas continue au point (a, h,...), elle peut être illimitée dans le domaine [a ± s, 6 ± tj,...) quelque petit que soit ce domaine. On dit alors que la discontinuité au point («, 6,...) est infinie. Sinon, l'oscillation de f{x,y,...) sera elle même variable si l'on suppose que t, t,,... tendent vers zéro. La limite inférieure de cette variable s'appelle la discontinuitc de f[:i\ y,..) au point [a, h,..).

33- Les fonctions continues de plusieurs variables jouissent de propriétés analogues à celles d'une seule variable. Comme la généraMsation se fait d'elle-même, nous allous les exposer en nous bornant, pour plus de simplicité, aux fonctions de deux variables. Nous établirons d'abord le théorème suivant :

Théorème. — Soient s un nombre positif et f [x^ y) une fonction de deux variables .r, y, qui varient dans un domaine rectangulaire D. S'il est impossible, en menant dans Vintérieur du rcctcingle D des parallèles aux côtés, de le décotnposer en un nombre suffisant de domaines rectangidaires suffisamment petits pour que C oscillation de f{x, y) dans chacun d'eujc soit <, £, il y a dans le domaine D un point au ynoins où Uc discontinuité de f{x, y) est ou > t.

En effet, décomposons D en quatre rectangles égaux par les droites qui joignent les milieux des côtés opposés ; l'impossibilité supposée dans le théorème subsistera dans l'une au moins des quatre parties, par exemple dans D,. Partageons D, en quatre rectangles égaux de la même manière ; l'impossibilité subsistera encore, dans l'une au moins, D^, des quatre parties. Partageons encore D^ et continuons ainsi de suite indéfiniment ; nous formerons une suite indéfinie de rectangles D, D,, D»,... I),,,... successivement intérieurs les uns aux autres et de côtés indéfiniment décroissants. Désignons en général pai* {a„ , b„ ] les coordonnées du sommet du rectangle D,i qri a les plus petites coordonnées ; alors les

suites de quantités (îj, a^,... «/),... et b^, f>.^,... b,)y... seront stationnaires ou croissantes et comme elles restent finies, elles convergeront vers des valeurs déterminées ; et r,. Le point (:, r,) sera à l'intérieur ou sur le contour d'un rectangle Dn arbitrairement petit et dans lequel l'oscillation de f{x, y) est = ou > £, Donc la discontinuité de cette fonction au point (^, -ri) sera = ou > £. C. Q. F. D.

Le point (ç, t,) peut être situé sur le contour du rectangle D, mais alors il est à remarquer que la discontinuité sera = ou > e en ce point, même si l'on ne tient aucun compte, pour le déterminer, des valeurs de f[x, y) à l'extérieur du rectangle D. La discontinuité dont il s'agit est relative à la variation de f [x, y) dans le rectangle D exclusivement.

34. Propriétés des fonctions continues de deux variables. — I. Si f{x, y) est continue dans le domaine rectangulaire D et qu'on divise D en domaines rectangulaires partiels, à tout nombre z, si petit qu'il soit, correspond un nombre o tel que l'oscillation de f{x, y) soit iti/erieicre ci £ dans chaque domaine partiel, pourvu que tous ces domaines aient leurs côtés < o.

Remarquons d'abord qu'il existe au moins un mode de subdivision en

parties rectangulaires, tel que l'oscillation de f{x,y) soit < ~ dans chaque

partie, sinon le théorème du no précédent prouverait que la fonction est discontinue dans le domaine D. Supposons ce résultat obtenu par un premier mode de subdivision en rectangles dont les côtés soient tous > o; je dis que cette quantité o réalise la condition du théorème. En effet, dans tout mode de subdivision de D en rectangles de côtés < o, une partie quelconque ne peut s'étendre sur plus de quatre rectangles différents du premier mode de subdivision, donc, dans cette partie, l'oscillation de f(x, y] ne surpassera pas 4 1 -^ ]= s.

II. Une fonction continue dans le domaine I) est bornée supérieurement et inférieurement dans ce domaine.

Donnons-nous un nombre t et décomposons D en parties assez petites pour que l'oscillation de f{x, y) dans chacune d'elles soit < £, ce qui est possible d'après la propriété précédente. Soit n le nombre de ces parties et (a, b) un point quelconque de D, à l'intérieur de D, f{X, y) restera comprise entre f{a, b) — n z et /"(«, b) | w z.

III. Une fonction continue dans le domaine D atteint dans ce domaine ses limites supérieures et inférieures.

Même démonstration que dans le cas d'une seule variable (n** 27).

>5 6. Fonctions élémentaires.

35. Les définitions des fonctions exponentielle et logarithmique appartiennent aux éléments de l'algèbre. Ces définitions et les pro-

priétés fondamentales de ces fonctions sont déjà familières à ceux qui abordent l'étude de l'analyse infinitésimale. En les rappelant brièvement ci-dessous, notre but est do les rattacher aux principes généraux et de faire saisir dans son ensemble la chaîne des déductions qui y conduisent.

36. Exposants fractionnaires. — Dans sa signification primitive, un exposant indique le nombre des facteurs égaux d'un produit : x"' désigne le produit de m facteurs égaux à .'■. On généralise déjà en algèbre élémentaire la notion des exposants par la définition des exposants fractionnaires. Si a désigne un nombre positif quelconque, l'équation .r" - « oîin

est un entier positif a une racine positive et une seule que l'on appelle la

racine arithmétique nf^"^<^ de a. On la représente par"V« ou «". On pose ensuite, par définition, a" = "\/ a" ,x'^ -^ 1,X'^= — ^' ^ désignant

une fraction quelconque. Ces définitions suffisent pour établir, sans aucune difficulté, toutes les l'ègles du calcul des exposants rationnels positifs et négatifs. Nous supposerons ces résultats acquis dans les éléments.

37. Fonction exponentielle. — Soit a un nombre positif, la définition de la fonction a-'' résulte de celle des exposants fractionnaires pour toutes les valeurs rationnelles de x. Lorsque x varie sans cesser d'être rationnel, la fonction a^' est continue pour chaque valeur de x et elle varie en croissant de 0 à 1 et de 1 à ce auand x lui-même varie dans le même sens de — oc à 0 et de 0 à oc . Cette propriété permet de définir, par un passage à la limite, la fonction «-^pour les valeurs irrationnelles de x et de donner, par conséquent, la définition des e.vposayits irrationnels. Sia est irratioimel a^ sera la limite de a-^' quand x tendra vers a sans cesser d'être rationnel. La fonction «'se trouve maintenant définie pour toutes les valeurs réelles de .r, elle est encore constamment croissante avec.r et continue pour toutes les valeurs de la variable.

Les propriétés essentielles de la fonction exponentielle sont exprimées par les équations

Celles-ci se démontrent directement dans le cas des exposants fractionnaires et elles s'étendent par un passage à la limite au cas des exposants irrationnels. Nous sui»poserons encore ces résultats acquis dans les éléments.

38. Fonction logarithmique. — Soit a un nombre • 1 ; le logarithme d'un nombre positif m dans le svstèrae de logai'itlimes dont la base est a est l'exposant auquel il faut élever a pour reproduire m. Tout nombre

positif w. a un logarithme et un seul dans la base a, car «-"^ croissant de 0 à oc quand x croit de — yo à + >:, l'équation a^ = ni a une racine et une seule. Nous représenterons cette racine par Log^, a;.

La fonction Log^,*' est définie par là pour toutes les valeurs réelles et positives de x sauf .'• =; 0 ; elle croit successivement de — oo à 0, de 0 à 1 et de 1 à l'infini, quand x lui même croit de Oà 1 de 1 à r< et de a à l'infini. Elle est continue pour toutes les valeurs de o: sauf x ^^O.

Ses propriétés fondamentales correspondent à celles de l'exponentielle a-'\ elle sont exprimées par les équations

Log^, .'; + Log„ y = Log,, xy, Log« x"^ = m Log„ x.

39. Puissance quelconque. — Lorsque la variable x est positive, la puissance oc^'- est définie par ce qui précède pour toutes les valeurs réelles, rationnelles ou non, de a. On a, en effet, le logarithme étant pris dans la base A,

Cette fonction s'exprime donc au moven des fonctions exponentielle et logariti)mique. Elle est continue pour toutes les valeurs de x > 0.

40. Fonctions circulaires directes, — Les fonctions trigonométriques sont définies clans les éléments par des considérations géométriques. Nous supposerons connues leurs propriétés les plus élémentaires. Toutes les fonctions trigonométriques peuvent se définir au moyen de l'une d'elles, considérée comme fondamentale, par exemple smx, au moyen des formules :

■ "^ , . sinj; ^ , /'tz

cosa; = sm ^ ^—xj, igx = — ^- coLi; - tg^^ " ^

seca; = , coseca;-=-^ —

cosj; sma;

Il y a lieu de rappeler ici le mode de variation de ces fonctions, sur lequel on s'appuie pour établir l'existence des fonctions inverses.

I. La fonction sin./; ne peut varier que de — 1 à |- 1 ; elle est continue pour toutes les valeurs de x ; elle croît constamment quand x croît

de — à -|- ^, de sorte qu'elle prend une fois et une fois seulement cha-

cune de ses valeurs quand x varie dans l'intervalle l — ô ,+0 )• Q'J^nd

;>; varie de ^- à -'-^ la fonction repasse par les mêmes valeurs en sens

inverse. Puis les mêmes variations se reproduisent périodiquement chaque fois que x augmente d'une circonférence. Le sinus est donc une fonction pénodique de période 2-, et par suite, toutes les autres fonctions circulaires auront cette même période.

II. La fonction igx peut prendre des valeurs quelconques. Si œ varie

de — ^ à 4- ^.cette fonction croit de — yz à. |- :<: et elle est continue,

sauf pour les valeurs limites de x qui la rendent infinie. Elle passe donc une fois et une fois seulement par chacune de ses valeurs, quand .« varie

dans 1 intervalle I — -,-\-^- j. La fonction a pour période -, ce qui fait

connaître son mode de variation dans un intervalle quelconque.

41. Fonctions circulaires inverses. — Les fonctions circulaires étant périodiques, reprennent la même valeur pour une infinité de valeurs de la variable. Donc leurs inverses, ayant une infinité de valeurs pour chaque valeur de la variable, sont des fonctions à déterminations multiples. Nous allons montrer toutefois que l'on peut associer ces valeurs entre elbs, de manière à constituer une infinité de fonctions distinctes, mais dont chacune sera simple et continue. Nous appellerons celles-ci les branches de la fonction primitive.

1° La fonction y -- arc sin x est la fonction inverse du sinus, c'est la fonction implicite y, définie par l'équation

X = sin ?/.

Quand y croît de ~ ^ à + ^. x passe une seule fois par chacune des valeurs comprises entre — 1 et \- \. Donc à chaque valeur de x dans l'intervalle ( — 1, -f i) ne correspond qu'une seule valeur de y dans l'intervalle! — ^. + ^ j. Nous dirons que celte valeur est la valeur principale de arc sin x.

La valeur principale de arc sin ;r varie d'une manière continue avec X et elle croît de — ^ à + ^^ quand x croît de — 1 à t 1 ; elle définit donc une branche de la fonction arc sin x. Nous l'appellerons la branche principale et nous conviendrons de considérer cette branche, chaque fois que le contraire ne sera pas dit expressément.

La fonction a une infinité d'autres branches. iMais il est facile de les ramener à la principale. En efiet, les seules valeurs qui laissent sin j/ invariable s'obtiennent en changeant y en - — j/ ou en ajoutant à l'un ou l'autre de ces deux arcs un nombre entier jtositif ou négatif de circonférences. Donc toutes les autres valeurs de l'arc sinus peuvent s'exprimer au moyen de la princij)ale par l'un des deux groupes de formules :

y = arc sin x -\- SA-,

J/ == (t: — arc sin x) i- 2A-7:,

où arc sin .l' reçoit sa valeur principale et où l'on donne à k une valeur entière <îuelconque. En même temps, chacune de ces formules définit une branche distincte de la fonction.

La fonction arc sin x n'a de sens, d'après ce qui précède, que si ^est compris dans l'intervalle ( — 1, + 1) ; en dehors de cet intervalle, l'expression arc sin x, au moins jusqu'à présent, ne représente plus rien.

"2" La fonction y --^ arc cos x se ramène à la précédente par la relation

a:^ cos y ^ sin :^i — y)

d'où l'on tire

^ — y -^ arc sin x arc cos ^ = '^ — ai'C sin x

Nous appellerons valeur principale de arc cos x, celle qu'on déduit

de cette formule en donnant à arc sin j: sa valeur principale. Cette

valeur principale est une fonction simple et continue de x ; elle varie

de - à 0 quand x varie de — i à 4- 1. C'est la brandie jmncipale

de la fonction. Les autres branches s'obtiendront en fonction de la

principale par les formules correspondant à celles relatives à l'arc

sinus :

y ^^k- -j- arc cos x

y = ^k- — arc cos x

Comme l'arc sinus, l'arc cosinus n'a de sens que si la variable est comprise dans l'intervalle ( — 1,4-1).

3° La fonction y = arc \gx a, pour chaqu3 valeur positive ou négative de X, une valeur et une seule satisfaisant aux conditions

— ^ - âraigx^'^-

Nous dirons (jue c'est la valeur principale de arc tg x, Celle-ci définit la branche principale de la fonction. Elle croit de — g) à + ^ quand x croît de — >: à h >^. Les valeurs de l'arc pour laqueUe la tangente reprend la même valeur diffèrent entre elles d'un multiple entier quelconque de tt; donc toutes les autres branches de la fonction arc tgj s'exprimeront, au moyen de la première, par le seul système de formules

y - arc tg x + k-.

4° Les autres fonctions inverses se ramèneront aux précédentes par les formules, correspondant aux trois dernières du n° 40,

arc cot ^' = â — ^^^ ^ë^y

arc sec x = arc cos -,

arc cosec x = arc sm -.

Exercices.

1. Toute /onction f{x) qui reste bornée dans un intervalle aussi j^etit qu'il soit (0, s) et qui satisfait, pour toutes valeurs réelles de x et de y, à la relation

est de la forme f[x) ^ ax, a constant.

En raisonnant de proche en proche, on déduit d'abord de la relation donnée que l'on a, m et n étant des entiers quelconques,

f{mx + n) =- mf{x) [- nf[i)

Prenons m > 1 : £ ; faisons varier x d'une manière quelconque dans

l'intervalle (0, — ) et faisons tendre l'entier n vers l'infini. La variable

V mj

mx '\- n = ^ tendra vers l'infini d'une manière arbitraire et l'on déduira de l'équation précédente, puisque f{x) reste bornée par hypothèse,

ç — oc î mx -]- n '

Prenons ensuite n ^ 0 et faisons tendre m vers l'infini ; on déduira de la même équation, en tenant compte du résultat précédent,

fi^) lim fl^ii:)

X m — X mx

ni)

2. La seide fonction qui reste bornée dans un intervalle si petit qu'il soit (0, e), qui nest pas constamrneid nulle et qui satisfait pour toute valeur de x à l'égalité

r{x-Vy^^f[x)f(y)

est la fonction f{X} A.^ , A constant.

On déduit d'abord de cette relation f{2x] — fix)^, f(t) — - f{x) f{i — x); donc : 1° f{x) est toujours positive ; 2° si f{î) n'est pas nulle, la limite inférieure de f{.v) est • 0 dans l'intervalle (0, i).

On posera donc Logf{x) -- 'f {x), '^ {x) sera bornée dans l'intervalle (0, ï) et on appliquera la propriété de l'exercice précédent.

On remarquera : 1° que dans ces thc'orèmes, on ne postule pas la continuité de la fonction ; 2° que si l'on ne considérait que les valeurs rationnelles de x, il serait inutile de supposer d'avance f{x) bornée.

§ 7. Logarithmes naturels.

La définition des logarithmes naturels repose sur les deux théorèmes suivants :

42. Théorème I. — Soit y. une variable > — \ et qui varie sans s'annuler ni changer de signe : 1° La fonction

cp (a) = (1 + a) ^ est une fonction continue de y. ; 2° elle varie en sens contraire de a.

Lo"" (1 -|- 3c)

Soit u = — ^^ le logarithme de -f (a) dans une base A quelconque ; c'est une fonction continue de a pour toutes les valeurs considérées, donc cp (a) = A" l'est aussi, puisque cette exponentielle est fonction continue de u.

Pour démontrer la seconde partie du théorème, nous partirons de l'identité suivante

dans laquelle a désigne un nombre positif quelconque et n un nombre entier positif.

Comme la dernière parenthèse est > ou < (7« + 1) suivant que a est > ou < 1, ou que le facteur {a — i) est positif ou négatif, on a, dans les deux cas,

Suit w un nombre quelconque mais ^ — n. Nous pouvons, dans cette inégalité, remplacer a par le quotient IH ^):( ij!!^\

n -f- ly' V 11 y

ce qui rend le second membre égal à 1 : 1 +- ; multiplions ensuite les deux membres par i -\- ~ , nous obtenons

Soit m un entier ,- n ; on en conclut, de i)roche en i)roche,

Elevons les deux membres à la puissance positive ou négative -, on voit que l'on aura, dans les deux cas,

1 + -— ; >i i + - • SI — >--, m j V n ; w w

car ces deux inégalités changent en même temps de sens avec le signe de w. Remplaçons encore to par ma, il viendra

(1 + a) >(H- — aj , SI a< — a.

Cette inégalité prouve le théorème pour deux valeurs de même

iïi signe a et — a, dont le quotient est rationnel. Pour étendre la démonstration au cas de deux valeurs a et [j > a, dont le rapport est

m irrationnel, on fera tendre — a vers ,j par une suite de valeurs crois-

^ , fm \

santés ; le second membre de l'inégalité précédente, -^ i — a 1, sera

constamment décroissant et l'on aura, à la limite, puisque la fonction est continue,

'^(a) >cp(|3), sia<[B,

ce qui établit le théorème dans tous les cas.

43. Théorème II. Définition du nombre e. — La fonction o(a) du théorème précédent tend vers une limite déterminée et unique, quand ol tend vers zéro d'une manière quelconqiie. C'est cette limite que l'on désigne par e^

Considérons deux variables simultanées a et [i, liées par la condition

on aura la relation, facile à vérifier,

c.(a)=(l + iii)o(|i).

Faisons tendre a vers zéro par une suite de valeurs croissantes ^donc négatives), ^ sera positif et tendra vers zéro par une suite de valeurs décroissantes. Donc © (a) variera en décroissant et cp ((3) en croissant, en vertu du théorème précédent. Mais :i a) étant positive, reste finie et tend, par conséquent, vers une limite déterminée. Désignons cette limite par <? ; la dernière équation, dans laquelle (1 I p) tend vers l'unité, nous donnera, à la limite,

e = lim 'i (a) ^ Jim cp (p) ;

ce qui prouve que la limite e.st la même, quel que soit le signe de la variable.

Pour évaluer cette limite, nous remarquons que les quantités -^(,3) et Y (a) ^ (1 + i^) r 0)* tendant vers leui- limite la première en crois-

sant et la seconde en décroissant, on a, pour toute valeur positive de p, cp(|3)<^<(l + p)cp(,3).

Ces inégalités permettent, en donnant à ,3 une valeur suffisamment petite, de calculer e avec l'approximation que l'on désire. En y faisant ,3 = ^ on voit déjà que e est compris entre f ^ ^M « J ^^ ^'^ fortiori entre "2 et 4. Nous indiquerons plus tard des méthodes plus expiditives pour calculer e. Ce nombre a pour valeur approchée par défaut

Remarque. — Il résulte des deux théorèmes précédents que, si l'on attribue à la fonction cp (a) sa valeur limite pour a = 0, cette fonction sera une fonction continue et constamment décroissante de a, pour toutes les valeurs de a > — 1.

44. Logarithmes naturels. — Les logarithmes naturels sont ceux qui ont pour base le nombre e, dont nous venons de démontrer l'existence dans le n° précédent, et qui est > 1, ainsi qu'on vient de le voir. Ces logarithmes sont ceux qui jouent le rôle le plus important dans l'analyse. C'est pourquoi nous nous servirons, pour représenter le logarithme naturel de x, de la notation Log x sans indice, tandis que LogA.r désignera celui d'un système de base quelconque A.

Les logarithmes naturels jouissent d'une propriété qui les caractérise. Si y. tend vers zéro d'une 'manière quelconque, on aura d'après la définition du nombre e

lim ^^^^^ + °'^ = lim Log (1 + a) "^ -: Loge = 1.

§ 8. Nombres complexes.

45. On donne le nom de nombre complexe ou imaginaire à l'ensemble de deux nombres réels a et è, rangés dans un certain ordre, et l'wi représente cet ensemble par la notation

a \- ht.

Les expressions de cette forme sont soumises à des règles de calcul conventionnelles, ("est dans l'énoncé de ces règles que consiste la définition mathématique des quantités complexes. Le symbole i n'a aucun sons par lui-même, il sert seulement à maintenir séparés l'un de l'autre les deux nombres a et b qui jouent un rôle différent dans les opérations que nous allons définir. Le signe + sert à marquer la connexion des

deux nombres a et h et son emploi se justifiera de lui-même un peu plus loin.

Le calcul des quantités complexes repose sur les huit conventions suivantes que nous indiquerons en les numérotant :

46. La première convention est relative à l'égalité. On écrit

(I) a + bi -^ a' + b'i,

si l'on a séparément a = a' et b = b' , de sorte qu'une équation entre quantités complexes revient à deux équations entre quantités réelles.

Les trois conventions suivantes, où la notation elle-même joue un rôle essentiel, sont exprimées par les trois équations :

(II) a-\-Oi = a,

(III) 0 + bi -= bi,

(IV) 0 4- lî = i-

Elles font rentrer respectivement dans l'ensemble des quantités complexes les quantités réelles, les expressions de la forme bi que l'on appelle purement imaginaires et enfin le symbole / lui-même que l'on appelle Vunité imaginaire.

Les quantités réelles rentrant maintenant dans les quantités complexes, il faudra prendre soin, dans les définitions suivantes, de n'introduire aucune règle qui contredise celles déjà établie? pour les quantités réelles.

La règle II montre qu'une quantité imaginaire n'est nulle ou égale à zéro que si l'on a séparément :

La quantité réelle et positive y/cr* -\- b- est ce qu'on appelle le module de la quantité fa -\- bi) et on le représente par | rt -f •''' | • ^ " nombre complexe sera donc nul si son module est nul et ne sera nul que dans ce cas.

47. L'addition et la multiplication sont définies par les équations

(VI) [a + hi) (a' 1- b'i) {aa' —bb') -\- {ab' t a'b)i

([ue l'on est en droit de poser, car elles se réduisent à des identités quand leurs termes sont réels. Donc la somme et le produit de deux nombres complexes sont de nouveaux nombres complexes entièrement déterminés. Il est à peine nécessaire de faire remarquer que ces définitions sont faites de manière à conserver les propriétés commutatives, associatives et distributives, qui correspondent aux relations :

aux relations analogues dans la multiplication et à l'équation

Les équations V et VI donnent lieu à des cas particuliers remarquables :

1° Eu égard à II et III, l'équation V montre que a 4- hi est la somme des deux nombres a et hi. Le nombre a est la partie réelle de a + bi et le nombre h'i est sa partie imaginaire.

2° Eu égard à IV, l'équation VI montre aussi que hi est le produit des deux nombres h et /.

Il résulte de là que l'emploi des signes d'opération dans la notation du nombre complexe a -f- hi ne peut prêter à aucune confusion.

3° Si l'on fait, dans l'équation VI, a = «' = 0 et è — è' = 1, elle se réduit à

Donc tous les calculs relatifs à l'addition et à la multiplication des quantités complexes pourront se faire par l'application des règles du calcul algébrique habituel, à condition de traiter le symbole / comme une quantité dont le carré serait égal à — 1. Cette propriété explique comment il se fait que le nombre i se soit introduit, en algèbre, sous la forme y — 1. L'usage que l'on a fait de cette notation sans la définir a fait considérer parfois l'existence des quantités complexes comme une surte de paradoxe.

4° Si l'on fait, dans l'équation VI, a' = « et è' = — h, elle donne

[a-^hi)[a — hi) ^ a} -{-b-.

Deux quantités complexes qui ne diffèrent que par le signe de la partie imaginaire sont dites conjuguées. On voit que le produit de deux quantités conjuguées est réel et positif et égal au carré du module de chacune de ces deux quantités. La quantité a''- + h"^ s'appelle aussi la norme de la quantité complexe a i hi.

48. Les deux dernières conventions relatives au calcul des quantités complexes consistent dans les définitions de la soustraction et de la division. >'ous conviendrons que ce sont les opérations inverses de l'addition et de la soustraction.

Soustraire {a' -j- b'i) de [a — bi) c'est déterminer le nombre x + yi qui vérifie la condition

[a -f bi) ia' -f />'/) \- {x + yi) ^- [a' -\- x) + {b' + y)i.

Ce nombre x -\- yi se représente par [a + bi) — (a' + b'i). On aura donc, par la définition de l'égalité,

(VII) (a I- bi) — (a' -I- b'i) -^ {a — a') -\^ {b — b')i

et cette équation définit la soustraction.

— yr> —

Divise)' (« + hi) par {a' ~\- b'i) c'est trouver un nombres -|- î/i appelé quotient qui vérifie la condition

{a + hi) = {a^ + Vi){x-\-yi),

ou en multipliant les deux membres par «' — b'i,

[a + hi) («' — b'i) = («'- + h'^) [x + yi).

a -|- bi , ,, Le quotient se représente par , ,. et 1 on a

Cette équation définit la division. Elle montre que la division est toujours possible et conduit à un résultat unique et bien déterminé pourvu que le diviseur ne soit pas nul.

49. Si, dans une somme, un produit, une différence, un quotient de nombres complexes, on remplace chaque terme par son conjugué, les formules précédentes montrent que les résultats seront aussi remplacés par leurs conjugués. Donc, dans toute relation entre quantités complexes qui ne comporte que les quatre opérations rationnelles, il est permis de remplacer / par — /.

Soit, par exemple, l'équation

(a + bi) {((' + b'i) ^ {oa' — bb') 1 i [ab' — ba') ; en la multipliant membre à membre avec sa conjuguée, on trouve [câ + b^) (rt'2 + b'-^) - [aa' — bb')- + [ab' — ba')-^

Donc le module (la norme) d'iin j)'>'odMit est égal au produit des modules (des normes) de diaqiœ facteur.

On conclut de là qu'w>i produit de plusieurs facteurs s'annii.le et s'cninule seulc.ynent si Vun des facteurs est nul.

50. Le module d'une somme ne peut pas sîirpasser la somme îles modules de chaque terme.

Ce théorème se vérifie d'abord pour les deux nombres 1 et [a -\- bi), c'est-à-dire (jue l'on a, en posant a |- bi — p,

1 h I p I -^ 1 1- \ a^\-b^ =v (TmJM^- I 1 I- '> I

En ellét, élevée au carré, cette relation revient à la suivante

qui est apparente et dans laquelle l'égalité ne peut avoir lieu que si b est nul et a positif, donc si 3 est réel et positif.

Ensuite la démonstration s'étend au cas général. En effet, soient a et a' deux nombres dllforonts de zéi'O ; leur quotient n'étant pas nul, on peut lioser -x' - /'x et il vient

I - + -' I = 1 -^ I I 1 + 3 I • Donc le module de (x + a') sera inférieur à la somme des modules de a et de J sauf si le quotient 3 de ces deux quantités est réel et positif.

Cette propriété peut aussi s'énoncer en disant que le module d'une somme est au moins égal à la différence des modules de ses deux termes^ car les deux relations

se ramènent l'une à l'autre par le changement de a en a ip a'.

51. Représentation géométrique des quantités complexes. — La quantité complexe [a -j- hi) se représente géométriquement par inie droite de longueur et de direction déterminée, menée à partir d'une origine arbitraire, et ayant comme composantes suivant deux axes rectangulaires les quantités a et h.

Si cette droite est menée à partir de l'origine des coordonnées, son extrémité M est un point déterminé, ayant pour coordonnées rectangulaires a et h. Le point M s'appelle Yafp.xe de la quantité complexe et peut aussi servir de représentation géométrique de cette quantité.

Les coordonnées polaires ;• et 0 de l'affixe M jouent un rôle' important dans l'étude de la quantité complexe. Elles sont définies par les relations a = r cos6, b ^^ r sinO ; d'où

r = S/a^ + If' cos 6 = — sin 0 = —

Le rayon vecteur r est le modide de la quantité complexe. L'angle ô s'appelle son argument, il n'est déterminé qu'à un multiple près de 2quand a et h sont donnés.

Cette représentation géométrique et la considération du module et de l'argument ont un intérêt particulier dans les diverses opérations précédemment définies.

La somme de plusieuis nombres complexes est représentée géométriquement par la résultante des droites représentatives de ses termes.

Si l'on fait le produit et le quotient de deux nombres complexes

a -\-hi = r (ces 6 -]- i sin 0) , a' + h'i ^-- r*' (ces 0' + i sin 0'),

on trouve, par les propriétés connues des fonctions trigonométriques,

[a -f hi) (a' + b'i) = rr' [cos (0 -f 6') + i sin (0 -f e')], a -\- hi r

a — bi

cos (6 — 6') -fî sin (0 — 0')

ÏJonc le module d'un produit est égal au produit des modules de ses facteurs et son argument à la somme de leurs arguments ; le module d'un quotient est égal au quotient des modules de ses deux termes et son argument à la différence de leurs arguments.

^ 9. Variables complexes et fonctions rationnelles d'une variable complexe.

52. Variables complexes. — Si x et // sont deux variables réelles, on dit que x \ yi est une variable complexe.

Si les variables x et y ont respectivement pour limites a et h, on dit que x 4- yi a pour limite a + hi et l'on écrit lim [x -\- yi) = a + bi.

La condition nécessaire et suffisante pour que x -\- yi ail pour limite a + bi est que

I {x + yi) - {a H- M) | = \^{x — a)^ + {y — h)-

ait pour limite zéro.

Cette condition est suffisante, car, si ce radical tend vers zéro, chacune des quantités de valeur absolue moindre {x — a) et (y — b) aura pour limite zéro. Elle est nécessaire, car ce radical tend aussi vers zéro avec {x — a) et [y — b).

Les principes généraux relatifs à la limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient de variables réelles (n" 15) s'appliquent évidemment aussi aux variables complexes.

Une variable complexe qui a pour limite zéro est dite infiniment petite. Pour qu'une variable complexe soit infiniment petite, il est nécessaire et suffisant que son module soit infiniment petit.

53. Polynômes entiers. — Soit z ^ x -\~ yi une variable complexe et

/■(.)- Aov» I A,;:-"-»-4 1 A„

un polynôme de degré n à coefficients réels ou complexes. A chaque valeur de ^-correspond une valeur bien déterminée de ce polynôme. On peut donc dire que ce polynôme est une fonction de la variable complexe z. De plus c'est une fonction continue pour toute valeur de z, ce qui veut dire que, si l'on fait tendre 2 vers une valeur particulière a d'une manière quelconque, on aura la condition

lim f(z) - A(a).

On démontre, en algèbre, que le polynôme f[z) peut toujours se décomposer en un produit de facteurs linéaires

A^) = Ao(^-a)^(.-;3)^..,

les lettres a, (j, . . . désignant des quantités réelles ou complexes et À, u., . . . des entiers positifs. Le polynôme ne peut s'annuler que pour les valeurs z = a, ^ == ,3,... que l'on appelle ses racines. Celles-ci sont simples ou multiples : les nombres a, u,... sont les degrés de multiplicité des racines respectives a, ,3,... La somme a 4- u. + ... est égale à n. On énonce cette propriété en disant qu'un polynôme de degré n a toujours n racines.