RÈGLES DE CONVERGENCE

6. Définition des intégrales de fonctions infinies. — Soit maintenant à intégrer une fonction /(x) non bornée dans l’intervallée (4, db)...

1° Si f(x) est bornée et intégrable (au même sens que précédemment) dans l'intervalle (4, h — +) quelque petit que soit :, mais illimitée dans l'intervalle (b -— :, b), on pose, par définition, : restant positif,

b Pb—E D) ax lin \ Jde

Ja g—0

La condition nécessaire et sufhsante pour que cette intégrale existe ou soit conversente, est que la différence des intégrales étendues aux intervalles (a, b — e) et (a, b — £’); ou que l'intégrale

singulière à laquelle elle se réduit, be’ | ax.

pese ait pour limite O, : et «’ étant des infiniment petits (positifs) indépendants. Si l'intégrale existe, elle peut être absolument convergente

ou non; et, si elle n'existe pas, elle est infinie ou indéterminée

comme les intégrales à limites infinies. Pratiquement, on ne ren-

contre guère que des intégrales absolument convergentes.

2° Si f est bornée et intégrable dans l’intervalle (a + <, b) mais: illimitée dans (a, 4 + :), Pintégrale dans (a, b) se définit par la

formule, analogue à la précédente, | b

e er b

|. 69 dx = lim es HO:

À PH CAE / Elle existera si l'intégrale singulière \ f dx tend vers 0, « et € Cs a+E

étant des infiniment petits indépendants.

3° Si f est bornée et intégrable dans l'intervalle (4, b) sauf aux environs des extrémités «4 et b, on partagera l'intervalle en deux autres par un point intermédiaire c (dont le choix est indifférent) et l'intégrale dans (a, b) sera la somme de celles dans (4, c) et (c, b). 4° Plus généralement, f(x) peut être bornée et intégrable dans

toute portion de lintervalle (a, b) ne contenant pas un nombre

limité de valeurs singulières aux environs desquelles elle devient infinie. Supposons, pour fixer les idées, que les valeurs 4 et b soient de ce nombre et désignons les autres par xX,, %... L'intégrale étendue à (a, b) sera, par définition, la somme de celles étendues à (a, x,), (X,, Xo),... ce qui ramène au cas précédent. La condition d’existence de l’intégrale étendue à (4, b) est donc que chacune des inté-

grales singulières :

Pare EME (Mes + \ fax, fax, re fax.

Le

ait pour limite O, < et <:” étant des infiniment petits indépendants.

7. Propriétés des intégrales généralisées. — I. Les définitions précédentes sont évidemment telles que, si lon partage l’intervalle (4, b) en plusieurs parties, l'intégrale dans (ad, b) sera la somme des intégrales dans chaque partie.

s conditions d'existence que nous v s d'écrire exprfi- IT. Les conditi l’exist que nous venons d

Pr

ment que l’intévrale \ f dx est encore une fonction continue de x

dans l'intervalle (a, b). En eflet, en faisant tendre :° vers 0 avant :, on en conclut que les intégrales :

® ae ; (x z CÆt HE ' \ Tan; \ Î dx, \ SES T1] 55 +

sont infiniment petites avec :. Donc l'intégrale entre 4 et X est continue aux points singuliers 4, X,,... les seuls pour lesquels sa continuité soit en question.

IT, On peut énoncer, pour les intégrales généralisées, un théorème analogue à celui de la moyenne. Ainsi, si / a une borne inférieure # ou bien une borne supérieure M dans l'intervalle (a, b), on 4 l

b | fdx > m(b— a) ou bien \ f dx LM (b — a).

En effet, en nt pour fixer les idées que b soit le seul point

singulier

sk:

elles subsistent donc, à la limite, pour : =

Un.

L'yrpots