RÈGLES DE CONVERGENCE II
8. Règles de convergence (fonctions infinies). — I. Supposons qu'ont ait | f(x) | 2 | Ex) | , sauf pour les valeurs singulières de x, et formons les intégrales :
b er b
Les \ o dx.
Ja a
Si la seconde est absolument convergente, la première l’est aussi. Si la première n’est pas absolument convergente, la seconde ne l'est pas non plus.
Ce théorème se démontre comme le théorème analogue relatif aux intéorales à limites infinies (n° 4, 1).
Supposons maintenant, pour fixer les idées, que /(X) ne soit
infinie que quand X tend vers b. La règle suivante, énoncée dans
cette hypothèse spéciale, s’adaptera d’elle-même aux autres cas :
I. So ne change pas de signe quand x tend vers b (unique valeur singulière) et que le quotient f : © tende vers une limite L finie et différente de O quand x tend vers v, les deux intégrales de la règle précédente seront en méme temps absolument convergentes ou en même temps divergentes.
La démonstration faite (n° 4, IT) pour les intégrales à limites infinies se généralise d’elle-même.
[IT Si, pour chaque valeur singulière, f(X) est infinie d'ordre
délerminé x, la condition nécessaire et suffisante pour la convergence Pb
de \ f(x) dx est que tous ces ordres à soient < 1 el alors la conver- [42
gence sera absolue.
Ce théorème se ramène au précédent par la définition de l’ordre
d’infinitude. On dit que f(x) est infinie d'ordre z pour x = c, si
lon a 1(X) - Ya(x)
Nr me <<. CDOUF AIRE Er LDOUL AE C DE CE Dos », les fonctions 4, et b, ayant, quand x tend vers e, des limites finies et différentes de O0. Toutefois, si c est une des extrémités de lintervalle (4, b), on ne tient compte que du seul cas où x varie dans cet
intervalle.
Ceci posé, nous pouvons admettre dans la démonstration que b soit ia seule valeur singulière. Il sufit alors d’appliquer l'énoncé du théorème précédent en y faisant © — (h — x)-#, car l'intégrale de (b==,x)72 dx converse dans l'intervalle) (0p rec pret diverge si x = 1. On le vérifie directement au moyen de linté-
grale indéfinie | dx lb x) (na) suc'diièrede ae lie à CE) EN Los CRE Se qui est infinie quand x tend vers b, sauf si 4 < 1. Par exemple, si p et g désignent deux nombres compris entre Ü
nu , et 1, l'intégrale
\ (re ANT x
est absolument convergente, car, pour chacune des deux valeurs
singulières O et 1, /(x) est infinie d'ordre < 1.
9. Intégrales généralisées élémentaires. Intégrales doublement généralisées. — Une même intégrale peut comporter en même temps les deux sortes de généralisations précédentes. C’est ce qui arrive si l’on intègre dans un intervalle infini une fonction présentant des points singuliers isolés où elle devient infinie.
Si ces points sont en nombre limité, pour définir l’intégrale étendue de 4 à Pinfini, on désigne par à un nombre arbitraire supérieur
à toutes les valeurs singulières et l’on pose, par définition,
9 D ll b M
\ JC) dx = |. 6) ax + \ f(x) dx.
D va b
Pärexemiple,:st l’ona Our intécrale
\ AA URL \ XL ET OX ANNE ler AETER est absolument convergente comme somme de deux intégrales absolument convergentes.
Plus généralement, s’il y a une infinité de valeurs singulières
isolées et que l'intégrale existe dans toute portion limitée de
RÉGLES DE CONVERGENCÉ 1
l'intervalle d'intégration, on la définit dans lintervalle entier par les mêmes passages à la limite qu'au n° 3.
Quand la fonction à intégrer est positive et les valeurs singulières isolées, lintégrale est toujours déferminée : sa valeur est finie ou infinie positive.
Les définitions peuvent se généraliser, mais les précédentes sufhsent en pratique. Nous dirons que les intégrales qui rentrent dans ces définitions sont des intéorales généralisées élémentaires. Ces intécrales sont donc celles de fonctions ne présentant que des points
de discontinuité isolés.
10. Valeurs principales. — Cauchy a fait grand usage de ce qu'il appelle la valeur principale d'une intégrale indéterminée. Soit d’abord /(x) une fonction continue pour toutes les valeurs de x. Il
peut arriver que la définition habituelle,
To
| Go AVIS lim | | HO
ne conduise à aucun résultat déterminé, mais que la limite existe lon tait 0% Dans ce cas, cette limite sera, par définition, la valeur principale de l'intégrale du premier membre.
De même, soit / (x) une fonction continue en tout point de l’intervalle (4, b), sauf un seul point x, où elle est infinie; il se peut que
la définition habituelle,
Rnb 2 MT +: # | | Ga = im +|\ fa, Et vT] LE
ne conduise à aucun résultat déterminé, mais que la limite existe en faisant : — <. Cette limite est alors, par définition, la valeur princibale du premier membre. On aperçoit immédiatement en partageant l'intervalle d'intégration ce que deviendra cette définition sil y a plusieurs points singuliers entre & et b.
Par exemple, l’intégrale de dx : x est indéterminée si on l’étend
de — 1 à + 1, mais sa valeur principale est nulle.
14 CHABITRE Î. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
1. Calcul des intégrales généralisées. Intégration par décomposition et par parties. — 1° La FORMULE FONDAMENTALE
pour le calcul des intégrales définies,
| AG) dx = F() — F(a
subsiste si l'intégrale est généralisée, pourvu que la fonction F(x) soit continue en tout point de l’intervalle (4, b) sans exception et qu'elle ait /(x) pour dérivée sauf aux points singuliers de f(x). Nous avons déjà établi ce théorème dans le premier volume (n° 184) et montré qu’il subsiste pour b — = quand F(x) a une limite F (=) DOUTE
2° LA FORMULE D'INTÉGRATION PAR DÉCOMPOSITION se généralise aussi: Soit f(x) = f(x) “+ Rx) ; ton aura t(dret#pouvantiète
infinis)
s se \ 10) du = \, f, (x) dx + \ f(x) dx,
pourvu que deux au moins de ces trois intégralesisoient déterminées, la troisième l’étant alors nécessairement, car la limite d’une somme est toujours égale à la somme des limites supposées existantes.
REMARQUE. — Supposons qu'on sache seulement qu’une des deux intégrales du second membre est déterminée. Si l’on s’interdit de faire passer les termes d’un membre dans l’autre, on pourra encore écrire la formule précédente, mais elle signifiera seulement que les deux membres sont ou égaux ou tous deux indéterminés mais avec les mêmes limites d’indétermination s’il y en a.
Pour justifier cette remarque, considérons un cas particulier, le raisonnement étant général. Supposons 4 et b finis et admettons que ff et Jo n'aient qu'un point singulier b. Si c’est l'intégrale de }, qui est déterminée, on aura, tendant vers Ü avec 2,
b—e *b BE MOLANOTEANN OCR Ja a a Donc, « étant infiniment petit, toute restriction à l’indétermina-
tion d’un des deux membres de cette relation entraîne la même
restriction pour l’autre membre.
CALEUL DES INTÉGRALÉS GÉNÉRALISÉES fs
Cette remarque a son importance pour reconnaitre si une intécrale donnée est déterminée ou non, car, si l’on peut simplifier celle-ci par l'addition d’une intégrale déterminée, il suflira de raisonner sur l'intégrale simplifiée.
3° Quand la RÈGLE D'INTÉGRATION PAR PARTIES est encore applicable, elle résulte des précédentes. Soient f(x) et p(x) deux fonctions continues entre a et b mais dont les dérivées f(x) et &’(x) n'aient que des points de discontinuité isolés. On a, par la première
règle qui précède, Pb b À LOG) 8) + 8) O1 dx = LCD #01.
Donc, si l’une des deux intécrales :
, oO
b RD a
\ J (x) #'(x) dx, \, e(x) '(x) 4x
est déterminée, l’autre l’est aussi et l’on a b 0) b À C0) 9°) dx = LG) #1 — À ea) °C dx
Si à ou b est infini, le terme aux limites peut être indéterminé et il faut une condition de plus pour légitimer la formule précédente. Il faut admettre que deux au moins des trois termes qu’elle renferme aient une valeur déterminée et alors ils sont déterminés tous
les trois.
12. Changement de variables. — [La formule de transformation des intégrales définies par substitution établie dans le premier volume, peut être généralisée. Voici cette formule, dans laquelle nous supposerons, pour fixer les idées, que Test > 4, :
Dora to
& JLe0)] + () dr.
ñ On peut énoncer la règle suivante :
Si la dérivée @'(t) est continue et différente de O dans l'intervalle (, T) sauf peut-être aux extrémités, la formule (x) subsiste pour les
intégrales généralisées en ce sens que les deux membres seront ou bien
égaux ou bien tous deux indéterminés, mais avec les mêmes limites d’indétermination s'il y en a.
Cette règle n'exclut pas le cas où e(#) serait discontinue aux extrémités /, et T', ni celui où /, et T seraient eux-mêmes infinis, mais il faut alors, comme la démonstration va le montrer, que o(,) et 2(T) désignent les limites de-o(r) quand # tend vers 4, en décroissant ou vers T en croissant, limites qui seront finies ou infinies (de signe déterminé), puisque, ©” ne s’annulant pas, la vatiation de © ne change pas de sens.
Cette remarque faite, nous pouvons démontrer la règle.
Supposons d’abord que ?, et T soient finis et admettons, pour fixer les idées, qu'il n’y ait de point singulier de f(x) ou de /(e) qu'aux deux limites des intégrales. Quand { varie de t, à T', la fonction @(1) varie toujours dans le même sens et ne passe qu’une fois par les valeurs @(4, + :) et &(T — x), en sorte que l’on a, sans
difficulté, les deux membres étant des intégrales proprement dites,
Co(T—y) ; PT—-» ; (2) le fo | joe à Jeter te) Jurs
Si l’on fait tendre : et x vers Ü, on obtient la relation (1) à la
limite, avec le sens que nous lui avons donné.
Par exemple, par la substitution X = sin* {, on a
Tr
\ APAOTE EN AUREES \ (sin }P2! (cos Ra 0 0
Les
et, par la substitution x = — log f,
A0 ro / 1) 4=| Î t\a=l \ NN Se DOX \ (108 1) ip | (io e dt.
