RÈGLES DE CONVERGENCE

converge ou diverge en même temps que celle de x7* 4x, laquelle converge si a > I et diverge si x 1. On le vérifie directement au moyen de lintégrale indéfinie

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qui tend vers l'infini avec \, sauf six est > 1.

ExEmPLes — Les intégrales suivantes convergent, par la règle III DU" RAA NC POHADES bre FT 2 2N2 | AT Ixt \ + x) Les intégrales suivantes (dont l'élément est moindre en valeur absolue que celui de la dernière écrite ci-dessus) sont absolument convergentes par la règle I :

De)

Base | sin X dx \ ad? + X?? x (d° + x)

Soient d et » des quantités positives ; les intégrales suivantes (dont l’élément est infiniment petit par rapport à dx : x!) conver-

gent par la même règle :

eo) ee) (+) | RAC he \ À RES TX, \ XP 2100) COSNDN: GC:

5. Règles applicables à la convergence non absolue. — IV. Si une intégrale F(x) de œ@(x) reste finie pour x = >, l'intégrale

\ ge) dx

converge pour toute valeur positive de 2.

On a, en effet, par intégration par parties, puis passage à la limite,

\ #G) D al + a | e

a À X @ « / a A DCX F(a ES HOT 22 | \ RO ax = "0 + à | rs a X (4) aix

Or cette dernière intégrale converge par la règle IT, car F(X) dx : x!Ta est infiniment petit par rapport à dx : X!TE(: < 4), ce qui est l'élément d’une intégrale convergente.

Par exemple, les sinus et cosinus ayant leurs intégrales finies et

périodiques, cette règle prouve l’existence des intégrales

Sin * SITX \ AOPE \ snx LE

V. Soit @(x) une fonction dont le sens de variation ne change pas et

(og

qui tend vers une limite finie pour x = =, formons les deux intégrales :

\/ (x) dx, \/ GORGES

Le

si la première converge, la deuxième converge aussi.

En effet, par le deuxième théorème de la moyenne, on a

Rx! Ë ex" Ve fax = ga) | fax + ec) | as (a ES Ë — ser ;

Si x, x" et, par suite, £ tendent vers l'infini, les deux intégrales singulières du second membre tendent vers O par hypothèse. Comme elles sont multipliées par des quantités finies par hypothèse, le second membre tend vers O et, avec lui, l’intégrale singulière du . premier membre, ce qui prouve le théorème.

VI. Soient ®(X) une fonction dont le sens de variation ne change pas et qui a pour limite O pour X = >, ensuite F(x) une fonction primitive

Net de f(x); si F(x) est bornée pour x = =, l’intégrale \ FX) e(x) dx sera convergente.

En effet, la formule de la démonstration précédente subsiste ; son

second membre peut se mettre sous la forme

ne f co f+ Lo LE @f

et tend vers Ü avec &(x°) et o(x"), car F(x'), F(E) et F(x”) restent bornés.