CLASSIFICATION DES INTÉGRALES IS

L'intégrale générale fournit la solution complète du problème de Pintéeration dans tout domaine où les conditions du théorème fondamental d’unicité ont lieu (en particulier, dans tout domaine où f et ses dérivées par rapport à y, y',... y"-—' sont continues). Si ces conditions viennent à manquer, des intégrales singulières non comprises dans la générale deviennent possibles.

L'étude des intégrales singulières ne peut se faire d’une manière satisfaisante qu’en se plaçant au point de vue des fonctions

analytiques. Nous ne nous en occuperons pas ici.

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CHAPIDREMVI

Intégration des équations du premier ordre

Ç r. Équations résolues par rapport à y

137. Intégrabilité. — On dit communément qu’on sail intéorer une équation quand son intégration se ramène à des quadratures. En ce sens, il n’y a qu'un petit nombre d'équations que l’on sache intégrer. Nous allons examiner les principales. Nous commencerons par celles qui sont du premier degré par rapport à la dérivée de la fonction inconnue. Nous supposerons que cette fonction soit y; mais il est clair qu'on pourrait aussi bien considérer x comme fonction inconnue de y et c’est ce que l’on doit souvent faire, en pratique, pour être ramené à l’un des tvpes que nous allons examiner. Il doit être entendu, une fois pour toutes, que les équations satisfont aux conditions de continuité et de dérivabilité qui assurent l’existence de l'intégrale générale et la légitimité des calculs

auxquels nous les soumettons.

138. Équations différentielles exactes (ou immédiatement intégrables). — Si l’équation est du premier degré en dy : dx, on peut la mettre sous la forme

(1) Pat RO MTEeA0

où P et Q sont des fonctions données de #, y. On dit que l’équation est wmmédiatement intégrable si son premier membre est une différentielle totale exacte. La condition nécessaire et suffisante pour cela est que lon ait P, — Q,, ces dérivées étant supposées continues (n° 29). Si elle a lieu, le premier membre est la différentielle totale d’une fonction F(x, y); l'équation revient à dE = 0; son intéorale sera donc F — const., ou, en développant (n° 29),

\ PET; 7) dx + \Q(, 3) dy CU

C’est l'intégrale générale et il n’y a pas de solution singulière. Exemples. — Les intégrales sont en regard des équations.

ELA CAPTER A") dy — 0 A GT ee CG

D D Ne RL du a a ne NC) TUE

Vire me dé — Le . — (0 ere

139. Séparation des variables. — L'’équation (1) est immédiatement intégrable si les variables sont séparées, c’est-à-dire si P est une fonction X de + seul et Q est une fonction Y de }' seul, car on Dan Ceci NN 0 L'éonitoniprendalors la forme