QUE

En effet, l’équation différentielle peut s’écrire

Pdx + Qdy — UE 0.

À! à ER * x “A 164 CHAPITRE VI. ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE Elle se décompose en deux autres : dF = 0, ce qui fournit la

solution générale, et 1 : » — 0, ce qui fournira la solution singu-

lière s’il y en a une. La solution singulière jouit donc de la propriété

remarquable de rendre infini le facteur intégrant.

147. Recherche d’un facteur intégrant. Cas de l’équation linéaire. — Parmi les équations étudiées précédemment, il y en a que nous avons intégrées par le procédé du facteur intégrant. Ce sont d’abord celles qui s’intègrent par séparation de variables (n° 139), car cette séparation se fait en multipliant l’équation par un facteur intégrant facile à apercevoir. Ce sont encore les équations homogènes, que l’on rend immédiatement intégrables (n° 141) en les divisant par Px + Q y, ce qui est donc l’inverse d’un facteur intégrant.

En dehors de ces deux cas, la recherche d’un facteur intégrant est un procédé peu pratique d'intégration et c’est plutôt l'intégration de l’équation qui conduit à la connaissance d’un facteur intégrant par la méthode indiquée au n° précédent.

Cherchons les conditions analytiques auxquelles doit satisfaire un

facteur intégrant. Pour simplifier, mettons l’équation sous la forme (xt) | dy + Pax = 0:

La condition pour que (dy + Pdx) soit une différentielle

exacte, est

da. d(4P) OR O VE

C’est une équation aux dérivées partielles et l'intégration de cette équation doit être considérée comme un problème d’ordre plus élevé que celle de Péquation (11).

Comme application, cherchons à quelle condition le facteur » sera fonction de # seul. L’équation précédente se réduit dans cette

hypothèse à 12 ne G2) :

Il faut donc que P”, soit fonction de x seul, c’est-à-dire que P soit

une fonction linéaire de y. Les seules équations de la forme dy + Pda

— 0 dont le facteur intégrant soit fonction de x seul, sont donc les

équations linéaires. Pour celles-ci, P est de la forme Xy — X, et P', est égal à X.

Soit donc l'équation linéaire

de À di NX

son facteur intégrant est donné par l’équation (12), qui devient

— — X, d’où it D

JXde

Multiplions donc lPéquation linéaire par le facteur intégrant ». et observons que uX = y’; il vient

dy) = vX,;dxX,

/% if = à uX dx.

U C’est la formule d'intégration de léquation linéaire (n°143). Le facteur y est l'inverse d’une solution de l’équation sans second

membre.