EXERCICES

1. En prenant y — X, : X pour inconnue, montrer que l’intégrale de l’équation linéaire (n° 143) peut s’écrire

2. Montrer que l’on peut intégrer l'équation P(xdy — ydx) — Qdy — Rax.

où P, Q, R sont homogènes en x, y et Q, R du même degré.

R. On pose y = ux et l’on obtient une équation de Bernoulli pour déterminer x en fonction de .

3. Intégrer l’équation de l’exercice précédent, en supposant que P, Q, R soient linéaires en x, y, mais non plus nécessairement homogènes (Équation de Jacobi).

R. Si P, Q, R sont homogènes, c’est une application de l’exercice précédent. Si cette condition n’a pas lieu, on la réalise par le changement de variables

en déterminant les constantes x, par les conditions

I a Pr

En égalant chaque rapport à une mênmie inconnue ?, on en tire trois

équations linéaires entre x et 5 et l’élimination de z, 5, fournit une équa-

tion du 3me degré pour déterminer À.

4. La condition nécessaire et sufhsante pour que 1 : (Px + Q y) soit

facteur intéorantide Par O1 01est ee P : Q soit homogene de degré 0.

s. La condition nécessaire et suffisante pour que 1 : (Px — Q y) soit facteur intégrant de Pax + Qdy = 0 est que Px? : Q soit fonction du produit xy.

6. La condition nécessaire et sufhisante pour que Pdx + Qdy admette un multiplicateur homogène de degré # est que la fonction.

X(Pyr Q'r) mr nQNT Le Px + Q y

soit homogéene et de degré 0.

2 Équations non résolues par rapport à y

148. Définition de l’intégrale générale. — Soit une équation (1) CR, 3, Y) = 0:

On pourra généralement tirer de cette équation plusieurs valeurs

pour y, peut-être même une infinité,

(2) Y = fix, »), J = faCr, J),.

Ces équations, qui sont de la forme traitée dans le paragraphe pré-

cédent, auront chacune leur intégrale générale, soit respectivement (3) SEE TON EN: FAT C) es at BAND:

Ce sont autant de solutions de l'équation (1) et l’on appelle intégrale générale de cette équation une solution qui comprend toutes les précédentes.

Lorsqu'il nv a qu'un nombre limité #7 d’équations (2) et, par suite, d'équations (3), on peut obtenir cette intégrale générale en

multipliant entre elles toutes les relations (3), ce qui donne (4) | FPE 4, Lo pet J, Ce Et y, C) 0.

Il arrive souvent que toutes les équations (3) peuvent être com-

prises en une seule renfermant des fonctions à déterminations

multiples. Cette relation unique est alors l'intégrale générale. Si les fonctions à déterminations multiples sont des radicaux, on pourra généralement les faire disparaître par des élévations de puissance, mais il est clair que cela revient à former l’équation (4). Il est à remarquer que cette opération a déjà été faite pour plusieurs des

équations proposées au paragraphe précédent. En voici un nouvel

exemple : soit

a Pope, d’où É mes

On en tire l'intégrale générale sous les deux formes

Log Le <—— 2 2) = Loge?, 1 + y = (Cet — 3}

Exemples. — Les trois équations :

y dut D: SE x +- TE un (x°) + 7 A + xy°) y vf CN Le ()

(RTE RE (a y = y be 0

nn ANA PO AURAS y [: es (&* + »y 5 Pr 2 y ee (8)

reviennent aux suivantes, dont nous mettons l'intégrale en regard :

| : : T2 PR V'— LV) 2 —( Rte X(y- 5) AE 1 let OT) QE rm) = 0 ( ; CN y—Ce (: Care À , PEU Ô [(a*—ax*)y?—1](y +bx)=0 Guise = (arc sin =

Gy' — y)" = [7° + y) l Y=Xts (c Se

149. Équations où manque une variable. — Elles sont de l’une des deux formes suivantes (la seconde se ramènerait d’ailleurs

à la première en prenant 4 pour inconnue) :

A) 0 où ONE 0:

On ramène immédiatement Pintégration à une quadrature en résolvant l'équation par rapport à y”. Mais il arrive que l’équation

soit plus facile à résoudre par rapport à æ (ou à y) que par rapport

à }”. Dans ce cas, en faisant la résolution et en remplaçant y” par p,

on obtient (suivant l'hypothèse)

L' = \o(p) F é Fe y = «(p) HER ONE \rer = O7 ol | Den 2 (ee

C’est une représentation paramétrique de l'intégrale : x et y sont exprimés en fonction de p. En éliminant p entre les deux relations, on met l'intégrale sous la forme habituelle.

Exemples "= T.'Soit l'équation =" pre aliient

—\pur Le ;\p'ur = : DRE

En) éliminant haine l (y — c)|.

ap PE

C=\our RD —\ep= er mn ETS

d Jr En éliminant p, il vient & EE (y —C) =

IP/Sort létuationtee : il vient

150. Équations homogènes. - Désignons encore j” par p et soit f(x, y, p) = 0 une équation homogène par rapport aux deux variables 4, y. En divisant par une puissance convenable de x et en posant y — ux, l'équation prend'la forme Fu; 5) = 0Sionmpent la résoudre-par rapport à p, elle. se ramène à la forme étudiéemau n° 140. Laissons ce cas de côté. Si on peut la résoudre par rapport

L'MPAOURAU ES

Cherchons la relation entre «et p. En différentiant y = w1: on obtient dy — pdt =. udx + Xdu:

d'où DOFUS & (p)dp L CP)

L’équation différentielle entre x et p est à variables séparées et donne 4 en fonction de p par une quadrature. On obtient ensuite y en fonction de p par la relation y = ux = x:(p). On a donc une représentation paramétrique de l'intégrale

Exemples. — Voici trois équations avec, en regard, soit æ exprimé

en fonction de p, soit l'intégrale oénérale :

| re RL Es # FI pX — AAC rer + S RE rer I SAR fs MAIRE pe py) Gi CEE ON He 2 DE eo Ge e Équations qui s’intègrent par dérivation. - Soit une

équation résolue par rapport à

En y remplaçant y” par p, elle devient (6) Y = fr, p).

Cette équation peut aussi être considérée comme celle de l’intégrale, à condition d’y remplacer p par une fonction de æ telle que y = p. Si l’on dérive cette équation, on voit que, pour cela, p doit vérifier la condition nécessaire et sufhsante :