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C'est une équation du premier. ordre entre pet t. Si on sait

Die l'AS ARE ; 2 3 l’intégrer, on en tirera

(8) DÉC} 0 d'où De to CO).

Portons cette valeur de p dans léquation (6), nous trouvons intégrale Y= f(x, s).

L'intégrale générale de (5) s'obtient donc en éliminant p entre (6) et (8) et, si l’on a soin de tenir compte de toutes les solutions de équation (8), on ne laissera échapper par cette méthode aucune

intégrale de l'équation (5). On pourrait aussi résoudre l’équation (8)

Ve D MT UENS PT TRE A UT ONE RE TE LAS NT Sr PR en MO ane te d Elite SOEUR LT CE Apr at ES ir à AN ui T2 tb ÉLUS 0 mia ME NE ANT RER ESP EO UT CEE POS PR RARE PIRE ET PET | | ; de V PTIT EU LE TON

par rapport à æ, puis porter la valeur trouvée dans (6) ; on aurait exprimé ainsi « et y en fonction de p et obtenu, par conséquent, une représentation paramétrique de Pintégrale. .

Les équations traitées dans les deux n° suivants fournissent des exemples de cette méthode.

152. Équation linéaire en x et }. -- Elle est de la forme (pb désignant y’) | (9) J = a4(p) + 4»).

En la dérivant, on en tire

Go) b =g(b) + F0 + TOI

dx

: ; d On peut vérifier cette équation en annulant p — <(p) et L ; nous dar

y reviendrons dans un instant. Supposons d’abord qu'aucune de ces

uantités ne soit nulle : l'équation peut s’écrire q ; P

DRE CPS RATE dpi T BEC) APE CN

Cette équation est linéaire en considérant æ comme l’inconnue

et p comme la variable indépendante. On sait l'intégrer et l’on

trouve 4 en fonction de p et d’une constante arbitraire. En élimi-

nant p entre cette relation et l'équation (9), on obtient l’intégrale vénéralé.: Si au lieu kde CEla Mon porte waleuradea dansante x et y sont exprimés en fonction de p et l’on a une représentation paramétrique de Pintégrale.

Annulons maintenant p — :(p). On en tire généralement un cer-

tain nombre de valeurs constantes p,, p,... qui satisfont à l’équa-

db US | |

tion (10), car de SSt alors nul aussi. En portant ces valeurs de p da |

dans léquation (9), on en tire un certain nombre de solutions

singulières qui, géométriquement, représentent des droites. Exemples. — Les équations homogènes traitées au n° 150 peuvent

aussi se résoudre par cette méthode. Voici d’autres exemples où les

équations ne sont pas homogènes. Nous mettons l'équation à

intégrer dans la première colonne, la valeur de x en fonction de p

en regard.

PES Eve HN CPR ANS (CAT) See | ; SUP UP PES ROUTE % | PATTES (© A perte ter PRE er Y = 2)X Me: ee No 2" 2p° 153. Équation de Clairaut. -— La méthode du n° précédent

échoue si 2(p) se réduit à p. Dans ce cas, on obtient l’équation de

Clairaut, qui a donc pour type

(n) D = pr + W(p).

En la dérivant, il vient

v=p+ {x + GE 0,

ét, pour qu'on dit}. —=/p,iil faut et il.sufht que E + ÿ'()| = 0. Cette équation peut être satisfaite de deux manières :

Pan PAErDosint Le 2 dote GC.

ns

es

Portant cette valeur dans (11), on obtient l'intégrale générale MCE LC)

qui représente géométriquement un système de droites.

2° En posant & + d (pb) — 0.

Si on élimine p dans cette équation et (11), on obtient une solution sans constante arbitraire. C’est une intégrale singulière, car elle ne peut rentrer dans lPintégrale générale ( p étant maintenant fonction de +). La solution singulière représente donc une courbe.

L'intégrale générale se compose de toutes les tangentes à la courbe représentée par la solution singulière.

En effet, toute solution particulière est donnée par l'équation J = pa + d(p) où bp est constant. Cette droite passe par le point de la courbe qui à pour abscisse 4 = —- L’(p). Comme le coefhcient angulaire y’ de la courbe en ce point est égal à p par notre calcul

lui-même, la droite touche donc la courbe en ce point.

Kéciproquement, l’éjuation différentielle des langentes à une courbe revient à une équalion de Clairaul.

En effet, l'équation d’une droite étant y = px: + q, pour exprimer

qu’elle touche la courbe & = f(x), on écrira

fa) = px + a, Dre ei

En éliminant + entre ces deux relations, on obtient une relation

de la forme g — ®(p). L’équation générale des tangentes est donc

Den PE MVC et elle dépend d’une constante arbitraire p. Pour former l'équation différentielle des tangentes, il faut éliminer p entre cette équation et sa dérivée y” = p; on forme donc une équation de Clairaut. Exemples. — Voici quelques équations de Clairaut avec leurs intégrales singulières en regard :

D PORC 4) = (x +1) .

pH VE FE | HP + œ a —b) HP 1 +p° L + —=I ANR CT OES

1. Intégrer les équations ayy2 + (2x — D) y — y =0 GS — &) p° — go + = à 20

(y — x) 1 xdy= n(r +)? dx.

R. La première se ramène à une équation de Clairaut par la substitution y? — , et la seconde à une équation linéaire en x, y en la résolvant par rapport à y.

Pour intécrer la troisième, on pose x = tg u, y — tg v, ce qui raméne à l’équation sin (v — u) du — ndv et les variables se séparent en posant V—u— 3.

2. L’équation de Clairaut est la seule qui s’intégre en remplaçant y par C (Mansion).

3. Transformation de Legendre. Elle consiste à prendre comme nouvelles variables XI [= xÿ — y.

| LP) , L + à # * *

En différentiant ces relations, on en tire, sans difhculté, Me MEXTESE RINE VEN ( d> % Par cette substitution, on raméne l’une à l’autre les deux équations AN ENNN TT ; SORA GEAR, ÉReE X} = 0 FC 35 7) J LT PUS Ne

et l’intégrale de l’une fait connaître celle de l’autre. r . / ’ , 7 dY 7 Par exemple, l'équation (x — 7) —xe( 7") dévient®(y) — TK p(X)

et les variables se séparent.

Cette substitution suppose toutefois que y” ne soit pas nul. Si on l’applique à une équation de Clairaut, on ne trouve que la solution singulière.

Ç 3. Applications géométriques des équations du premier ordre

154. Problème des trajectoires. — Soit F(x, y, x) == 0 une équation renfermant un paramètre arbitraire x, et qui représente, en axes rectangulaires, une famille de courbes planes (EF); on demande de trouver les courbes qui rencontrent, sous un inême angle donné w, toutes les courbes de celle famille.

Soit (x, y) un point du plan. Considérons une courbe de la famille (F) et une trajectoire passant par ce point. Soient, en ce point, o linclinaison sur l’axe des x de la tangente à la courbe et

» = 9 + w l’inclinaison de la tangente à la trajectoire. On a