COMENT OS

IL + to 9 to oO

(x) tee —tg(s —w) —

Ceci posé, formons l’équation différentielle des courbes de la famille (F), ce qui se fait en éliminant à entre F — 0 et sa dérivée.

Cette équation sera de la forme “re ; | (2) LME 0:

Dans cette équation, y’ représente tg +. Si nous voulons en

déduire l’équation différentielle des trajectoires, il faut former une

équation dans laquelle y’ représente tg +”. En vertu de la relation (1)

* 1 x “ Le a A Ve Me £ d ? . } ; ne si is | Le Gi} \ 2” Fe rer We f74 CHAPITRE VI. ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRÉ

CAUTÉME MON OL

g #', il faut, pour cela, remplacer, dans léqua-

tion (2), y’ par l’expression

| y SE (3) 1 + too

D'où la règle : L’équalion différentieile des trajectoires s'obtient en formant Péquation différentielle des courbes (F) et en pi remplaçant y’ par (5° NoLe o) : (x —- y to ol 4

Les trajectoires sont orthogonales où obliques selon que l'angle © est droit ou ne l’est pas. Dans le cas des trajectoires orthogonales, te w est infini, l’expression (3) se réduit à — 1 : y”. Donc l'équation des trajectoires orthogonales s’oblient en remplaçant y par — 1 : y: dans l'équation différentielle des courbes (F).

Si l'angle w est nul, la courbe cherchée touche toutes les courbes de la famille (F). On peut considérer le problème de trouver cette courbe comme un cas-limite de celui des trajectoires. L’expression (3) se réduit à y” et l’équation des trajectoires coïncide avec équation différentielle des courbes (F). La solution du problème ne peut donc être donnée que par une intégrale singulière de l'équation (2).