V0 VI V

Si {, et T étaient infinis, il faudrait simplement, pour faire la démonstration, remplacer dans la formule (2), /, + < par un infiniment grand négatif #”, et T — x par un infiniment grand positif T”, la formule (2) subsistant avec ces nouvelles limites en vertu de la

démonstration même que nous venons de faire.

Par exemple, on a, par la substitution x = [/#,

1% 00 ee) D Er, I sin { SAN Ori AE 0 0 2 0 V/# REMARQUE. — Lorsque les conditions de la règle précédente ñe

sont pas vérifiées, il faut le plus souvent, pour procéder avec sécu: rité, partager l'intervalle (/,, T) en intervalles partiels satisfaisant aux conditions de la règle et étudier la transformation dans chaque intervalle séparément. Toutefois, dans certains cas, on peut utiliser la règle suivante : |

Si o(1) est continue entre 1, el T et que ©'() ne soit nulle ou disconlinue qu'en des points isolés de l'intervalle (,, T), la formule (x) subsiste pourvu que son second membre soit déterminé.

En eflet, on peut écrire la formule analogue à (t1) pour chacun des intervalles de { compris entre deux points singuliers consécutifs de ®’({). Pour chacun d’eux, les deux membres de la formule obtenue sont déterminés et égaux. En ajoutant ces diverses formules, on retrouve la formule (1), dont les deux membres sont donc aussi

déterminés et égaux.

13. Nouvelle définition des intégrales généralisées élémentaires de fonctions positives. — Soit /(X) une fonction non négative, admettant une intégrale généralisée élémentaire (n° 9). Définissons une fonction auxiliaire /,(X) en posant :

a hors RE ; SI 72

Cette fonction est bornée et n’est discontinue qu'avec /. Elle peut servir à définir l'intégrale généralisée de f par un seul passage à la limite, au moyen des formules suivantes :

Si l'intervalle d'intégration est borné, on a

Pb D \ RO ATEtEiM \ TC) are va n=n Ja

et si cet intervalle est infini, soit par exemple (— >, + >), on a

Le FC) dx = lim Vi f(x) dx.

LE