I. Considérons les coniques homofocales

Leur équation différentielle est (n° 109)

12 ds 1 y° 2 rap b / k AU ax eo 0 MORTE. D

Cette équation se reproduit par le changement de y'en — r : y. Donc le système des coniques homofocales contient ses propres trajectoires et forme à lui seul un système orthogonal. Par chaque point du plan passent effectivement deux courbes de la famille, une

ellipse et une hyperbole, qui se coupent à angle droit.

157. Lignes de niveau et de plus grande pente d’une surface. — Soit F(x, y, z) — 0 Péquation d’une surface rapportée à des axes rectangulaires. Nous supposerons l’axe des z vertical et, par conséquent, le plan xy horizontal.

Les liones de niveau de la surface sont les intersections de la surface par des plans horizontaux.

Les liones de plus grande pente sont celles dont la tangente fait, en chaque point, le plus grand angle possible avec le plan horizontal. Cette tangente est donc perpendiculaire à la tangente horizontale (qui est celle de la ligne de niveau). Les lignes de plus grande pente sont donc des trajectoires orthogonales des lignes de niveau sur la surface.

Nous allons former les équations différentielles des projections de ces deux sortes de lignes sur le plan xy.

On obtient une ligne de niveau en coupant la surface par le plan

z — a. La projection de cette ligne sur le plan xy a pour équation