CHAPITRE VII
Equations d'ordre supérieur au premier
\ r Equations linéaires sans second membre
Lea
158. Notations. Premières propriétés. —- Une équation linéaire el homogène où linéaire sans second membre est une équation linéaire et homogène par rapport à y et à ses dérivées successives.
Celle d'ordre # est donc de la forme DRE ER Pr RE UN Url
où les lettres X désignent des fonctions de x seul, et les exposants des indices de dérivation. On fait varier X dans un intervalle où les fonctions X sont continues et où X,, ne s’annule pas. On peut alors diviser toute l’équation par X,. Autant admettre à priori que
X, = 1, auquel cas l’équation devient (1) y 2 X: 46) FLE NO PE Ne 4 Ab} SF Û,
les fonctions X étant toujours supposées continues. Cette équation satisfait aux conditions de continuité qui assurent l’existence et l’unicité de son intégrale générale. De là, le théorème suivant :
THÉORÈME [. — Dans tout intervalle de continuité des fonchions X, lintésrale de Péquation linéaire et homogène de la forme (x) est entièrement déterminée par sa valeur initiale et celles de ses n — 1 premières dérivées en un point donné x,, ef le choix de ces valeurs est arbiüraire. I n'y a point de solution singulière.
Ce théorème contient, comme cas particulier, le suivant, qui est d'un usage fréquent :
THÉORÈME Il. — Une intégrale qui s'annule ainsi que ses n — 1 premières dérivées en un point donné x,, est identiquement nulle.
En effet, y — 0 est une intégrale particulière qui satisfait à ces
conditions et, par conséquent, c’est la seule.
Le premier membre de l'équation (x) est un polynome symbolique
de degré # en y. Si lon pose, en abrégé,
(2) PL) ASC EEE
équation (1) s'écrit plus simplement
TOE=0:
Soientiui "47. des Monctions der x 0 PROC NES CORTE quelconques; on vérifie de suite que le polynome symbolique (5)
jouit de la propriété exprimée par la relation JC % + Cons +.) = Cf(mi) + Cove) + +:
On en conclut le théorème suivant :
THÉORÈME LIL. — Si u,, u3,... sont des solutions particulières de l’équation f(y) = 0, la fonction y = Cu, + Cu, + . en est une
solution plus générale.
159. Wronskien. — Soient v,, v,,... v, des fonctions de x supposées dérivables jusqu’à l’ordre 7 — 1; nous désignerons par W (v,, v9,... v,) ou simplemert par W et nous appellerons Wronskien
déve. ur ledéterminant
V1 Vo n / f “à W— V, V 9 Un UE à Does Nr ee formé avec les fonctions v et leurs dérivées jusqu’à l’ordre n — 1.
Ces déterminants jouent un rôle fondamental dans la théorie de l'équation linéaire.
On remarque immédiatement qu'un wronskien est identiquement
nul si deux des fonctions v,, ,,... sont égales entre elles.
160. Théorème. — Considérons n solutions particulières u,,u3,.…. u, de l'équation (x). Si leur wronskien W s’annule au point x,, il est identiquement nul et les fonctions u,, u,,... sont liées par une relation
linéaire à coefficients constants et non tous nuls
ay + Solo + ne + au = 0.
En effet, nous pouvons déterminer 7 constantes +, non toutes nulles, par la condition que les 7 équations, linéaires et homo-
BéteS rene,
CO nent Gus «0; fl 4 4 (3) Ai SERA ANE CEE ENT Er UE
DU + UD +... Æ œn DEN mA — 0,
soiént vérifiées pour X — %,, car le déterminant du système est le wronskien W nul au point x,. Ceci fait, y — Ÿ au est une intégrale de (1) qui s’annule ainsi que ses 7 — 1 premières dérivées Pot MDoOnerond 10 (par létthéorementttdumnwse) et la première relation du système (3) est identique : les # sont reliés par une relation linéaire à coeflicients constants non tous nuls. Dérivons # — 1 fois cette identité, il s’ensuit que les relations suivantes du système (3) sont aussi des identités. Alors l’élimination des x (non tous nuls) entre ces # identités, donne, quel que soit x, W—,
Il résulte de ce théorème que le wronskien de n solutions de l'équation (x) ne peut s’annuler qu'à la condition d’être identiquement nul. I] ne faut pas perdre de vue que cette conclusion repose, comme le théorème Il invoqué, sur l’hypothèse que les coefficients X de l’équation (1) sont des fonctions continues de x.
Potsque-7%solutions 1, 5.4 2 sontulrées pan une vrelation linéaire et à coefficients non tous nuls, de la forme X au — 0, on dit qu’elles sont linéairement dépendantes. Dans le cas contraire, elles sont linéairement indébhendantes. Du théorème qui précède, on déduit le corollaire suivant :
COROLLAIRE. — La condition nécessaire et suffisante pour que n solutions de l’équation (x) soient linéairement dépendantes est que leur wronskien W soit identiquement nul.
En eflet, si W s’annule en un point, il s’annule identiquement et l’on a, en vertu du théorème précédent, au — 0. Réciproquement, si l’on a cette identité, et qu’on la dérive # — x fois, élimination
des z donne identiquement W = 0.
Réciproquement, la condition pour que n solutions de Péqualion (x) soient linéairement indépendantes est que leur wronskien ne soit pas identiquement nu}. à
Un système de # solutions linéairement indépendantes de Péquation (1) (ou dont le wronskien n’est pas identiquement nul) s'appelle
un système fondamental de solutions.
161. Intégration de l’équation linéaire sans second membre. — J'équation linéaire et homogène d'ordre n admet toujours n solutions particulières u,, ua, u, formant un système fondamental, auquel cas son intégrale générale est donrée par la
formule
(4) Ÿ Fu Cu, T Co tt ne “He ie er Hs
où les € désignent n constantes arbitraires.
On peut trouver 7 intégrales particulières formant un système fondamental. Pour cela, on détermine ces # intégrales par la condition (n° 158, l'héor. [) que tous les éléments de leur wronskien aient des valeurs assienées au point donné x = £,, valeurs choisies de manière qu’elles n’annulent pas W. Alors, W ne s’annulant pas identiquement, le système est fondamental.
Ceci fait, y est l’intégrale générale. En effet, on peut choisir les constantes C de manière que y et secs 7 — 1 premières dérivées prennent des valeurs assignées au point x, (différent ou non de £,). Pour cela, on fait = x ct lion substitue ces yalenne de is
dans le système
NC, Die (OtANUEe DOS TE CAE
on en déduit les C, car le déterminant du système est le wronskien W
qui ne peut s’annuler.
\ 2, Equation linéaire avec second membre Abaissement des équations
162. Equation linéaire avec second membre. Forme de l'intégrale générale. — L'’équation linéaire non homogène, ou avec
“da L- ro band LL j, ris nt CA 27 La M si d t : LP S ‘4 LA un ‘ L k + | \ é \ D
second membre, ou encore complète, contient un terme X indépendant de y et de ses dérivées successives. Celle d’ordre 7 sera donc de
la forme (5) | FO) = X, où /( }) désigne, comme précédemment, le polynome symbolique PO) EEE EX TT EX
On a le théorème suivant :
L'intégrale générale de l'équation complète est la somme d’une imlégrale particulière de celle équation et de lintégrale générale de l'équation sans second membre. Il n’y à pas de solution singulière.
En effet, soit y, une intégrale particulière de l'équation (5); on a /(y1) = X. Substituons à y une nouvelle fonction inconnue 7 par
la relation y = y, + 7; l'équation (5) devient MORE CE COR Xe
Hess) == QrDonc rest. l'intégrale tsénérale. de l’équation sans second membre. Celle-ci n’ayant pas de solution singulière, l’équation (5) n’en a pas non plus.
Le théorème précédent fait connaître la forme de l’intégrale générale de léquation complète. Il ramène l'intégration de cette équation à la recherche d’une intégrale particulière et à l'intégration de l’équation sans second membre. C’est une méthode d'intégration qui peut être utilisée dans des cas particuliers et dont nous rencontrerons des exemples plus loin. Mais le théorème général
our lintéoration de l’équation sans second membre est le suivant : oO
163. Intégration de l’équation sans second membre. Méthode de Lagrange (ou de la variation des constantes arbitraires). — L'intéoralion de l'équation linéaire complète d'ordre n se ramène à celle de l’équalion sans second membre et à n quadratures.
Nous allons'établir ce théorème par la méthode de Lagrange ou
de la variation des constantes arbitraires.
104 CHAPITRE VIL ÉQUATIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR Soit 4, 45,... u, un système fondamental de solutions de l’équation linéaire sans second membre f( y) — 0, de sorte que celle-ci
a pour intégrale générale PGO ICT,
où les C sont des constantes arbitraires.
Nous pouvons faire en sorte que cette même expression devienne l'intégrale générale de l'équation avec second membre, à condition d'y remplacer les C par des fonctions de x convenablement
choisies. D'ailleurs, comme nous disposons de 7 fonctions €, nous
pouvons encore les assujettir à 2% — 1 conditions supplémentaires. Nous poserons les 7 — 1 conditions suivantes : dc dC dE ag [ 2 PÉTER ul + Us ——< + HOUSE 11) ANR OU ane ax ) dC de dE D et r GLo fat u, Ho +... +u 1 —=0 (6) Fois AUS nd dx é 11 (08 1187 AS 7 N=—2 il 2 AU S HOVEREEN.
dx ne x ‘ ue ; i en vertu desquelles les 7 — 1 premières dérivées de y conservent
la même forme que si les C étaient constants, à savoir
Vos Cd ue Os LÉ PMERCENC SH
