SA

ee = WG ee 1 sa Res. dx, Ar =\ on da + X.

© Le Ca

To

Substituons ces valeurs dans /(Y,) et observons que, 4 étant une

intégrale de f(y) — 0,'on.a /(Ÿ) — OA He (CAO MP UA V0 ;

FRET =\ fx Xi Es Xe

Cas PARTICULIER. — Appliquons, en particulier, la méthode de

Cauchy à l’équation NRA

L'intégrale de lPéquation sans second membre est un polynome arbitraire de degré # — 1. Donc d(x, «) est un polynome en x de ‘ degrè 7 — 1. Ce polynome est déterminé par les conditions (8). Les 7 — 1 premières montrent que « en est une racine d'ordre h — 1, donc que le polynome est de la forme (x = x) 1F(@) Alors F(x) est immédiatement déterminé par la dernière équation (8); on a

d’où

165. Méthode d’abaissement de d’Alembert. — S: l’on connaît une solution particulière, autre que D, de l'équation linéaire sans second meinbre, on peut, moyennant une quadraiure, abaisser l’ordre de l’équation d'une unité sans altérer ces deux caractères.

En effet, soit #, cette solution particulière. Changeons d’inconnue

par la relation Da Ve

dia ir AT ra a A at CL ra à RSR

Les dérivées y’, y”, se calculent par la formule QD CR OU 2 ne ET ME QU Ze (Q EE Ter 258. Ÿ.

Portons ces-valeurs dans l'équation .f( y) —='0 d'ordre #;. le toOccienmtide Non celuide,z sertie) = 0: Done ti lon

désigne par les lettres £ des fonctions connues de x, l'équation en x

sera n halles 8 F0 RU TER ER Enr — 0.

: Cette équation linéaire et homogène se réduit à l’ordre n — 1

en prenant ? pour inconnue. Connaissant 7 , on en déduit ? par une quadrature. Il y a toutefois lieu d'observer que la dernière équation ne satisfait aux conditions de continuité qui ont été admises précédemment que dans un intervalle où #, ne s’annule pas.

Plus généralement, si lon connaît p < n solutions indépendantes de l'équation linéaire et homogène d'ordre n, on peut abaisser son ordre de p unités.

Montrons d’abord que, si #,, 4,,... u, sont ces p solutions indépendantes, les p — r solutions