SÉOLUTIONS COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS LINÉAIRES

les lettres À,, À,,... B,, B,,... désignant des fonctions connues de x, il est loujours possible de déterminer deux nouveaux polynomes symboligues Q et KR tels qu'on ait, quel que soit y,

A») = Q[BO)] + RO), Q étant d'ordre m — net R d'ordre < n. De plus, cetle délerminalion n'est possible que d’une seule manière.

Cette opération peut s'appeler la division de À par B ; Q est le quotient, KR le reste. Si R est identiquement nul, on dira que À est divisible par B.

Pour établir ce théorème, mettons la seconde équation de l'énoncé

sous la forme

Jui (B— B,7t2t — Bin —...).

Dérivons-la m1 — n fois de suite et remplaçons chaque fois dans léSécondimemoren en)" parleurs valéurs déjitrouvées ; Ron RObTEUlTOn AT MP én fonction linéarede BB: RON Sn MP Grtonseces valeurs danissleMpremiEer polynome A( y): il viendra

A(y) = Q(B) + K(y), Q(B) désignant un polynome symbolique en B, B',..: BY et R'un polynome symbolique en y, y,... 7-1, C’est la relation qu’il fallait établir.

Sous les conditions énoncées, les polynomes Q et KR ne peuvent étre déternuinés que d’une seule manière. En effet, soient Q, et R, deux autres polynomes satisfaisant aux mêmes conditions. On aura, quel

que soit },

Q[BONI — Q[BCM] = RC) — RC»).

Il résulte de là que lexpression linéaire (d'ordre #1 — 1) R,() -— R(y) est annulée par l'intégrale générale de lPéquation

(d'ordre n) B(y) — 0, donc par des valeurs arbitraires de y, y’...

yt=1, Donc tous les coeflicients de cette expression sont nuls et

l’on a identiquement R, = K..

La relation se réduit alors à Q[B()] — Q,[B(y)|. Celle-ci ayant liéu B(y) restant arbitraire, on a identiquement Q — Q..

PART CRT LD AM D UE ET UE TP TP PUR ee Pt asia He NE Lis ‘4 Nb es ie VE à ÉCRAN PES ES

167. Solutions communes à deux équations. — Les solu- … tions communes aux deux équations A( y) = 0 et B(5) = 0 d'ordres m el n respectivement (mn => n), sont celles d’une équation linéaire et sans Ne second membre d'ordre Zn, que lon peut former par un calcul analogue à celui du plus grand commun diviseur de deux polynomes à aloébriques.

En effet, divisons À par B et considérons l'identité

es

On en conclut que les équations A0 euB 0 d'une pare les équations B — 0 et R— 0 d'autre part, ont les mêmes intégrales 7 communes.

Si À — 0 admet toutes les intégrales de B — 0, il faut donc que R soit identiquement nul (ou À divisible par B), sinon KR, qui est

d'ordre < 7, ne pourrait être annulé par lintégrale générale de équation B =: 0, qui est d’ordre 7. Réciproquement, si R est ai identiquement nul, les solutions communes seront données par l'intégrale générale de B — 0. |

Si R n'est pas identiquement nul, nous sommes ramenés à chercher les intégrales communes à B et à KR. Nous divisons B par R, ce qui fournit un nouveau reste KR, et ainsi de suite. Comme les ordres des restes vont en décroissant, l’opération ne peut se poursuivre indéfiniment; on arrivera donc à un premier reste R,, NS. divisant exactement le précédent et, par suite, tous les autres. Ce reste R,, est le polynome symbolique de l’ordre le plus élevé qui divise à la fois A et B, il peut s'appeler le plus grand commun diviseur de À et de B. Les solutions communes aux deux équations À = 0 et B — 0 sont fournies par lPintésrale de R, = 0.

Les deux équations À — 0 et B — 0 ont toujours y = 0 comme ni. intégrale commune, en d’autres termes, Îles deux polynomes A RL. et B sont toujours divisibles par y. S'ils n'ont pas d'autre diviseur commun, on peut dire qu'ils sont premiers entre eux. Dans ce cas, les deux. équations À — 0:et B = 0 n'ont pas d'autrersolution

commune que y = U.

SOLUTIONS COMMUKES À DEUX ÉQUATIONS ÉINÉAIRES {0

168. Théorème général sur l’abaissement de l’ordre des équations linéaires. — Si l’on connait p(p < n) solutions indépendantes de l'équation d'ordre n, linéaire sans second membre, lintégration se ramène à celle d’une équation linéaire sans second membre d'ordre n — p et à p{n — p) quadralures distinctes.

Soit f(y) — O0 cette équation d'ordre 7; désignons par #,, U»,... 1, les p intégrales connues et formons l’équation différentielle d'ordre p

ON EN. 14. I) IeAO qui admet ce système fondamental d’intégrales et qui a pour intégrale générale Cius + Coûo sf +. + Con.

Puisque /( 7) — 0 admet les intégrales de #( y) = 0, le polynome

f est divisible par + (n° 167) et si l’on désigne par Q (+) un polynome

de degré 7 — p, qui s'obtient par la division, on a l'identité 10) = Qf(:

L'équation (3) — 0 se décompose donc en deux autres : TO 2 — 0.

La seconde est une équation linéaire sans second membre d’ordre n — bp, qui détermine 7 avec # — p constantes arbitraires. La première est une équation linéaire d'ordre p, avec second membre, mais on connaît l'intégrale générale de l’équation sans second membre, cette équation détermine donc y par p quadratures, quand z est connu. l'outefois, comme 7 entre en facteur dans chacune des p fonctions à intégrer et que x est linéaire par rapport 7 — p constantes arbitraires, chaque intégrale se décompose en 7 — p autres multipliées par ces constantes et qui doivent, par conséquent,

se déterminer séparément. Il y aura donc en tout p(n — p) quadra-

tures distinctes à eflectuer.

REMARQUES. — [. Si on connait 7 — 1 solutions indépendantes de l’équation sans second membre d'ordre #, lordrè 7 — p se

réduit à 1 et l’intégration se fait par des quadratures, résultat connu (n° 165).

IT. Si l’on connaît p{p < n) solutions indépendantes de l'équation

sans second membre d'ordre #, l'intégration de Péquation complète

f93 CHAPITRE VIL ÉQUATIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR

se ramène à celle d’une équation sans second membre d’ordre n — pet à p(n — p) + n quadratures. En effet, il reste 7 quadratures à faire quand on a intégré l’équation sans second membre. IT. Les nombres de quadratures dont il s’agit dans ces théorèmes sont relatifs aux équations de la forme la plus générale. Si lon considère des équations de forme spéciale, par exemple des équations où X, est nul, certaines de ces quadratures sont immédiates et leur nombre peut se réduire. Nous Pavons déjà observé pour

équation du second ordre (n° 165).

& 4. Propriétés des wronskiens Leur rôle dans l'intégration de l’équation linéaire

Les propriétés des équations linéaires sont intimement liées à celles des wronskiens dont la définition a été donnée au n° 159. Nous allons reprendre l'étude de ces déterminants. Cela nous permettra de préciser la plupart des propriétés rencontrées dans les

paragraphes précédents et‘d’en découvrir de nouvelles.