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En effet, les limites (finies ou infinies) écrites dans les seconds”

membres existent et ne peuvent surpasser les valeurs des premiers membres (car f, < f), il suffit donc de prouver qu’elles ne sont pas moindres.

Faisons d’abord cela pour la première formule. Il y a dans (a, b) un nombre limité de valeurs singulières où f cesse d’être borné, et il suflit de prouver la formule dans l'intervalle de deux d’entre elles. Autant admettre que les valeurs singulières sont 4 et b. On a, dans ce cas, quelque petit que soit « positif, |

b € P he

42 CALE € lim | Foserum \ EEE \ the = 0 JA 1 —2D J a+E si) (LE car f, devient égal à f entre 4 + e et b — <. Il vient donc ana

limite, quand < tend vers zéro,

im || Jade | f dx.

fl 20 C2

Passons à la seconde formule. On a, par ce qui précède, quelque

grand que soit N fixe,

+n : Pre, ®+N | A ee Aer À Le lim \ HPONUUTR io \ Jax ; ND jJ—n ND ,) —N D, NN et, en faisant tendre N vers l’infini, nn 1% 0 . CF URL ra £ lim \ due \ J dx, no ,J -n 00

ce qui achève la démonstration.

14. Théorème. — Soit F,, F,,... F,,... une suile NON DÉCROIS- SANTE de fonctions POSITIVES de x; si chaque fonction est bornée, continue (sauf peut-être pour des valeurs isolées de x indépendantes

den), et si F,(x) tend vers une limite finie ou infinie F(x) quand n tend vers l'infini, on a

Him im À F FT | Etat

que l'intervalle (a, b) soit fini ou non, pourvu que la fonction F n'ait

que des points de discontinuité isolés et admette, par conséquent, une

intégrale élémentaire. Celle-ci d’ailleurs peut être finie ou infinie.

LS É di 1 à M . FRE UE, PE + MOTO AT, €? Us Tr 2 4 RS CELA Pat Bu de ÉLAN . LS LIN da 4 + A ON piété te LEE + 134 ce RS AN PRET NE PIETS House CAT Es ei Ce Re | /

CALCUL DÉS INTÉGRALES DOUBLES t9

La démonstration est immédiate si les fonctions F, sont continues et l’intervalle (4, b) fini. L’énoncé revient 4lors à dire que l’on peut intégrer terme à terme la série de fonctions continues et

positives KE F, A Œ or F;) AT (RE Ji Feu à MRC

ce qui est permis (/. [, n° 326).

Si l'intervalle (a, b) est encore fini, mais que les fonctions F, cessent d’être continues en un nombre limité de points xX,, X5,.., on peut, comme au n° précédent, admettre que a et b soient les seules valeurs singulières. On a, dans, ce cas, quel que soit : positif, d’après ce qui vient d’être démontré,

Pb MN b=— € lim | Fax > > lim | PUS F dx.

| {)mp eo) #4

Faisons tendre =: vers zéro, il vient, le second membre pouvant d’ailleurs croître indéfiniment,