Théorème. — Si le wronskien Wu,, u9,..: u) est identi

quement nul dans un intervalle, et que les wronskiens d'ordre n — à oblenus en supprimant l’une quelconque des fonctions u ne s’annulent pas simultanément en un même point, les fonctions u sont liées, dans cet intervalle, par une relation linéaire à coefficients constants (non tous nuls): Considérons d’abord un intervalle dans lequel lun des détefmi- Hantlordreni tn, par exemple. W(x,; 4,44 /ne s'annule

pas. Dans ce cas #, est une solution de l'équation MNT an) 20:

qui est linéaire et homogène, d’ordre 7 — 1, et dans laquelle le coefficient de 3"-=! est le wwronskien supposé différent de O. Cette équation satisfait aux conditions de continuité admises au paragraphe précédent, elle admet le système fondamental de solutions Uy, U9,... Un-y, elle à donc pour intégrale générale y = Cu, ee ci

+ C,-,u,-,. Mais #, en est une solution particulière, donc (1) UNE U UE Loto ti. 2 a SU

Supposons que Wu, t2,... 4,—,) s’annule en un point x, boïnant

l'intervalle précédent, mais qu’un autre wronskien Wu, u3,... 0)

ne s’annule pas en ce point. Je dis que la relation précédente subsiste

de part et d'autre du point x,. En effet, dans l'intervalle où

Wus,u3,...u,)ne s’annule pas, on a, par le raisonnement qui précède, (2) Uy = Polo + Bylz + ce + Éntn.

Les deux relations (1) et (2) subsistent donc dans un certain intervalle commun. Ceci exige qu’elles se confondent, sinon, en remplaçant dans (1) u, par sa valeur (2), on obtiendrait une relation entre 4, 44,... ut, et le wronskien correspondant d'ordre 7 — 1 serait identiquement nul, contrairement à Phypothèse que nous venons de faire.

On voit ainsi que la relation (1) subsiste tant que lon ne passe pas par une valeur de x qui annule à la fois tous les wronskiens

d'ordté # —"T.

Vol. IT. 13

ot A AR : D A VO NOT LT D NRA TT 32 AU ELLE + LE Net De OT PT EEE PCR PEN AT RENENTE ul À n Op ! ” (ER ; di . Le] MAT. TA VA 4 Ro # "NT, rar? L A Fit As nb rl! pe Le "AA 15 d: : { | ? 2 ie (OA Pr 3 VAR pa TER PATES ÿ n | ii) | 4 4 “ À (#4 V2

194 CHAPITRE VII. ÉGUATIONS D'ORDRÉ SUPÉRIEUR

REMARQUE. — Si tous les wronskiens d'ordre 7 — 1 s’annulaient simultanément en un point *,, la relation linéaire qui lie les fonctions # pourrait changer de forme de part et d'autre de ce point.

Soit, par exemple,

HIVER Hors ex 1 On a identiquement Wu,, #») — 0, mais u, et #, s’annulent tous deux pour 2500" On 4tu, ASE NO "A eat nn

uy + do = 0 à droite du point x = 0.

Toutefois cette anomalie ne peut se présenter si les fonctions # sont régulières (ou analytiques), c’est-à-dire développables par la formule illimitée de Taylor aux environs de chaque point.

En eflet, si une relation de la forme (1) a lieu dans un intervalle, elle subsiste certainement dans tout intervalle contenant le précédent et dans lequel les fonctions # sont régulières. Pour nous en assurer, observons que, dans le cas contraire, on pourrait assigner un point régulier X, tel que la relation (x) ait lieu d’un côté et pas de Pautre de ce point. Substituons aux fonctions # leurs développements convergents suivant les puissances de x — x,, les deux membres de la relation (1) seront identiques d’un côté de x,, donc composés des mêmes termes, et, par conséquent, l'identité subsiste

de part et d’autre de ce point.