Lemme. — S2 les deux équations linéaires sans second
membre :
D + Xp Xp = 0, + Ep" FE, y + 0,
ont la même intégrale générale, elles sont identiques terme pour terme. 4
En effet, leur différence
(Xi PTE EURE EE) PR NEED) 0
est aussi vérifiée par cette intégrale générale, donc par des valeurs
arbitraires dép. EC Qui exe OnE IE Xe LES
ES tee 0 eh CE à él 5 a god EN STI Det ER GRR LEE ra À -Y 3 we : a rh Ed : Y = u
PROPRIÊTÉS DES WRONSKIENS 195
Le théorème précédent permet de montrer facilement que le pre-
mier membre de l'équation linéaire, ramené à la forme
HO E X pr ue
s'exprime de différentes manières par des wronskiens, quand on
connaît 7 intégrales, linéairement indépendantes, #,, #5,... 41, ou Fintégrale générale de l'équation /(1) = 0. C’est ce que nous allons faire.
172. Première expression de /( 1) par des wronskiens. — Formons léquation linéaire d'ordre n NE ed) = 0:
Vent OO car, u,, u,,2.71 entétant Munteerales
LA
particulières, elle a la même intégrale générale. Pour réduire son premier membre à f( y), il suflit donc de le diviser par le coefficient de y”, d’où l'identité
RS Wu, PO) (3) sers MC res at
173. Formule de Liouville. Intégrale première de l’équation sans second membre. — Si l’on écrit Wu,, us,... u,, 7) sous forme de déterminant, on remarque que, d’après la règle pour former la dérivée d’un wronskien (n° 169), le mineur relatif «he lest |
— W'(u,, us, un).
Identifions donc les coeflicients de 3-1! dans les deux membres
denla relation (3) ; 11 vient, °W élantilewronskhien: deuil us: #4
W° . SN DER pe de W — Ce Xidx.
Cette formule est due à Liouville. On en déduit une conséquence importante : | On obtient immédiatement une intégrale première de l'équation
f@y) = 0 d'ordre n, si l’on en connaît (n —:1) solutions indépen-
danles U,, 2, Une
Remplacons, en eflet, y par l’intéorale générale Cu, PRG +. + Cu, dans le wronskien MCD AA il vient, par la formule de Liouville, Win 10e, Su PC NE Ce JXidx.
Donc l’équation différentielle d'ordre 7 — 1 avec second membre (5) UC PENEN SAT mr Ce JXidx
est vérifiée par l'intégrale générale de (y) = 0. C’est donc une intégrale première de f(y) — 0 et l'intégration s'achève par des quadratures, cat on connaît l’intégrale de léquation sans second membre WU) 0:
174. Seconde expression de /(}) par des wronskiens. — Muitiplicateurs. — Désignons, comme au n° précédent, par W le wronskien Wu,, 42, un); par W:(y) le même wronskien dans lequel une des fonctions # seulement, la fonction wi, a été remplacée par y. Formons l’équation linéaire d'ordre 7 (D désignant une dérivée)
M CC). 1 (6) D. tn de O,
cette équation admet les 7 intégrales particulières #,, u3,... u,, car le rapport à dériver est égal à 1 si y = u;, et à,0,sivy estégaltätune autre fonction #. Donc, pour réduire le premier membre de cette équation à /(y), il suffit de le diviser par le coefficient de 3”.
Soient, en général, w"; le mineur de W relatif à l’élément wl:, &w,
le mineur relatif à #;; on aura
W;Cy) = ii LES GUEST RE ce
Donc le coeflicient de y” dans l’équation (6) est w;"—1 : W. On
en conclut que l’on a; pour = 1,42; "n, lidentité (7) D WO)D AP AON AP ROIS RTS Ant y) HW | W Mr
Il résulte de là que si l’on multiplie l'équation f(y) = 0 par
l’une des # quantités wi"! : W(i = 1, 2,... n),'on transforme son
PROPRIÈTÉS DES WRONSKIENS | 197
prenrier membre dans une dérivée exacte. Ces facteurs sont des multiplicateurs de Péquation et nous ferons la théorie de ces multi-
plicateurs au paragraphe suivant.
175. Intégration de l’équation linéaire avec second membre. — L'intégration de l'équation linéaire complète d'ordre n se ramène à celle de l'équation sans second membre et à n quadratures.
Nous avons obtenu ce résultat précédemment par la methode de Lagrange. Il s’obtient immédiatement en se reportant aux formules du numéro précédent. Soit Péquation /(y) — X. Multiplions-la DeEmuitipicateur tel AW. Il vient (pañidéntie (7)ider ce
numéro,
w: n—|] Sens. + AUE n— 1 dE +. + W; 3 W'; n—] x W W ; et, en intégrant,
7 un |
DRE ES ET Ce PR ES IN dd. 40
Multiplions cette relation par #; et sommons pour ? = 1,2,... 1. Dole nier Te 027 prliSontceuxide, la (£ + 1)" ligne du Te W, le coefhcient de y sera W, ceux de y” y”... seront nuls. Il viendra donc, en supprimant le facteur
commun W qui n’est pas nul,
É wW,; es (8) | ee ces D Su W XX:
C’est, sous forme explicite, la formule générale d'intégration de l'équation avec second membre.
Srratrieu de multipherleséquatonsepat 1, 43, 4, avant dé
léAjouter ontlestavait multiphées parut 4"... ut)) on. aurait
MDP SDOUPA "LT, 2.0/1 ctle
RAS AU ME PAST N RS CR TE A PA RE CR PTIT ES LFP TEEr is TC ed Rd Re LAS PE de it |
RE a £ 6 Ë Ÿ y 1” a
Ç 5 Multiplicateurs des équations linéaires
176. Muiltiplicateur. — Considérons l'expression symbolique (1) JO) ER ER RME ESC
Un multiplicateur de f(y) où un multiplicateur de léquation f(y) = X, est un facteur , fonction ‘de, x.seul, tel'que le produit d f(y) soit la dérivée d’une fonction de x, y, y',... 371 et cela quel que soit y.
Il existe toujours des mulliplicaleurs et ce sont les intégrales d’une équation linéaire sans second membre d'ordre 1.
En effet, considérons l'intégrale indéfinie
\ ë f (7) EE \#0" HE Pi ent +, + X, 4) x.
Transformons-la par intégration par parties de manière à ne plus avoir de dérivée de y sous le signe /. On a
\pxa40e x ==: y. ARE —\(@Xx-) x.
"rs
\ox, en (x = MX no). 14 (uXn=0)7 + \(2X, 2)" (AE
Par la substitution de ces valeurs, il vient, Q désignant la somme
des termes intégrés,
()) \2/09 LEE oi | [2 Xn "y (NS a) 4e ri Co 1e ui] dx. | ge Del am [uX, — u | NES +
Donc, pour que y: soit un multiplicateur, il sufht que » vérihe l'équation linéaire d'ordre # (3) Ur — QUE + + (—i) ox, = 0.
Réciproquement, tout multiplicateur doit vérifier cette équation,
sinon, comme on le voit en dérivant l’équation (2), l'expression
JIRX, — (uX,;) + ...], qui est encore sous le sione-fau
second membre, serait la dérivée d’une fonction de x, 7, y°.."ce
qui est impossible, car elle ne contient pas de dérivée de y.
