MULTIPLICATEURS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES
177. Equation adjointe. --- L’équation des multiplicateurs ou l'équation (3) s'appelle l’éguation adjointe de f( y) — 0. Il existe une complète réciprocité entre ces deux équations. L’équation f (y) = 0 es! réciproquement l’adjointe de l'équation (3), c’est-à-dire l'équation de ses multiplicateurs.
En eflet, si y est une intégrale de /(7) —0, la relation (2) devient
Lilex, La GX ne sc dx = — Q,
où Q est une fonction explicite de u, x”, Donc y est un multiplicateur dep X, — (ah X,-,) + .2, ce qui prouve la proposition.
178. Théorème. — Les intégrañons complètes de deux équations adjointes sont deux problèmes complètement équivalents.
En effet, supposons qu’on connaisse 7 solutions indépendantes u,, 1», t, de équation /(y) = 0; on obtient # multiplicateurs, donc n solutions de l’équation adjointe, par les formules (n° 174)
TA cos Te
ee ee — NN PERS (D M Lo er LA
Il reste maintenant à montrer que ces multiplicateurs sont linéairement indépendants. Supposons, par impossible, que ces multiplicateurs ne soient pas indépendants; on aura une identité de la forme Ÿ auwi"l — O où les x sont des constantes non toutes nulles. Ajoutons alors toutes les identités (7) du n° 174 respectivement
multipliées par 4;; il vient, quel que soit }!,
en D RATE LR otre re 2 at; +0) DU 2
ce qui ne peut subsister que si toutes les sommes Ÿ sont nulles. On aurait donc, pour des valeurs non toutes nulles des x, le système d'équations
D ML Se N ŒAU s =— D qu — ( Dot V Y œUw 1) © aw, 0
ce qui est impossible, car le déterminant des quantités &, qui est l’adjoint de W et est égal à W”={, n’est pas nul (W ne l’étant pas).
779. Théorème. — S: l’on connait p (p < n) mulliblicateurs linéairement indépendants d'une équation linéaire d'ordre n, avec ou sans second membre, on peut abaisser l’ordre de léqualion de p unités sans que l'équation cesse d’être linéatre.
Considérons une équation d'ordre #
(4) sh HELD + au + Au) — ne Multiplions-la par un multiplicateur u; et intégrons. Le premier membre s’intèere exactement et l’on obtient une intégrale première
de cette équation, qui sera de la forme (5) Qi PCR AE RE PET =\s, OP
Le premier membre de (5) n’est autre chose que lexpression Q du n° 175. Les lettres d;, bi, c;,... sont des fonctions connues de x,
ayant pour valeurs, d’après la formule (2) de ce numéro,
NES peus 7 / PACE T / (7 dj == H;, bi, — HN NEERUS LNSRNTAACRES (tt; Xo) nu M joe.
Si l’on connait p multiplicateurs pu, u,... 4, on obtient ainsi p intégrales premières, comprises dans l’équation (5) pour ? = 1, 2,... p. Ces intégrales premières sont distinctes, c’est-à-dire qu’elles forment un système d'équations résoluble par rapport à 7"! PRE, op." En, efetinle "déterminants Ses écOefcients MERE
inconnues dans ce système d'équations est
7 D 4 El | s / 1# |
| on À; Hg RTE ee ECS AANOISU SE UE A PRE | ’ / 7
Ho Xi Ho UE De a
C'est un wronskien qui ne s’annule pas, puisque u,, ps. sont, par hypothèse, linéairement indépendants. En résolvant ce système par rapport à y*-”, on obtient une équation linéaire d'ordre 7 — p pour déterminer y. Le théorème est ainsi établi.
REMARQUE. — Le théorème précédent fournit une nouvelle démonstration de celui du n° 168 relativement à l’abaissement de l’ordre d’une équation linéaire sans second membre d’ordre #, dont
où connait p intégrales linéairement indépendantes. Ces p intégrales
ÉQUATIONS LINÉAIRES ARCOPBEPICIENTLSECONS EAN.TS 20T
sont des multiplicateurs de l'équation adjointe; l’ordre de celle-ci peut donc s’abaisser de p unités. Ceci fait, l'intégration de l’adjointe et, par conséquent, l'intégration de l'équation proposée (n° 178) ne
dépendent plus que de l'intégration d’une équation d'ordre 7 — p.
Ÿ 6. Intégration des équations linéaires a coefficients constants et sans second membre
180. Caractère algébrique du problème. — L'intégration des équations à coefficients constants avec ou sans second membre dépend étroitement de deux problèmes d’algèbre : 1° La détermination des racines d’un polynome ; 2° la décomposition d’une fraction rationnelle en fractions simples. Pour mettre cette dépendance en pleine lumière, il importe de définir et d’étudier les symboles
d'opération avec le signe de dérivation D.
181. Opérations définies par des polynomes en D. Sommes et produits d’opérations. — Soient 4,, d,,... des coefhcients constants, D le signe de dérivation par rapport à x.
Posons CO (D) DEP a DE ES ha DE as
L'expression {(D) est un symbole d'opération, dont le sens s’interprète immédiatement en convenant que si y désigne une fonc-
omte d rOHsa RHODES ARE DM ee te
On remarquera que, dans le cas particulier où /(D) = 1, on a HéDJVe y. Donc, dans ce cas, /(D) désigne une opération d'effet nul.
Les symboles opératoires à coefhcients constants tels que (L), jouissent de propriétés qui les rapprochent des polynomes algébriques.
1° SOMMES D'OPÉRATIONS. — En premier lieu, si /(D) et /,(D)
sont deux polynomes symboliques et qu'on représente par
à "j'a ne DT SOUL OV AR LE) ARR € Re RD TN ess OS EE Nr LE fs SE SR LOT 6 dde 1 ir LS L tot, ; à f e MT CULOTTE : AT EL ET + AVES ANR SE 4": Re & V. ' ) 4 J va , : 4 £ (À,
Le
1) + /,(D) leur somme effectuée, on a, par les propriétés des dérivées,
f0)y + O)y = (OO) + D).
Donc lopération /(D) + /f,(D) peut s'appeler la somme des opérations f(D) et f,(D) et les sommes ainsi définies jouissent des propriétés des sommes algébriques. En particulier, l’opération (D) est la somme des opérations définies par chacun de ses termes.
2° PRODUITS D'OPÉRATIONS. — Considérons d’abord un certain nombre de symboles linéaires D + a, D + b,... D + /. Nous
pouvons définir l'opération (2) (D +7) .. (D + b) (D + a)
en convenant qu'on opère d’abord avec le facteur (D + 4), puis sur le résultat avec (D + b) et ainsi de suite. Or, en effectuant ces opérations, on constate immédiatement qu'on obtient le même résultat que si l’on avait exécuté l’opération unique, définie par le produit algébrique (D + 2) ... (D —- a) préalablement effectué.
L'opération (2) peut donc s'appeler le produit des opérations définies par chaque facteur et ce produit est indépendant de l’ordre des facteurs. Si le produit se compose de 7” facteurs égaux D + 4, on le représentera donc par (D + 4)" comme en algèbre.
On définirait d’une manière analogue l’opération FO) 0) AD)...
composée de facteurs de degrés quelconques. On verrait que celleci aussi est indépendante de l’ordre des facteurs. Cette propriété résulte d’ailleurs de ce que chaque polynome f(D) peut, par les règles de l’aloèbre, se décomposer en facteurs linéaires, ce qui ramène au cas précédent. Nous reviendrons sur cette décomposi-
tion dans le n° suivant.
182. Décomposition des polynomes en facteurs et des fractions rationnelles en fractions simples. Formules symboliques qui s’en déduisent. — 1° DÉCOMPOSITION EN
bte. 6 ec 6 TT, - Le R Li SAS 4 à 5 art Ent VV / 2: Ne" Z nr. 27» CE , v FAIT TU 0} ; ; \ $ £
ÉQUATIONS LINÉAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS 203 FACTEURS. — Considérons l’équation algébrique de degré 7 (D étant
considéré comme une quantité) FDL A DEEE Aa 0.
Cette équation admet toujours 7 racines qui peuvent être égales distinctes, réelles ou imaginaires. Nous représentsrons les racines différentes par r, s, /,... leurs ordres de multiplicité respectiis par AR, ve Connaissant ces racines, -on connaît aussi la
décomposition de /(D) en facteurs linéaires. On a
(3) DECO ES") (Def)
Considérons maintenant /(D) comme un symbole d'opération et rappelons-nous les résultats du n° précédent. Nous VOyOns que l’opération (D) peut se Ce, en une suite d'opérations consécutives, définies par un seul des symboles D — r, D — 5, et effectuées dans un ordre arbitraire.
2° DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS SIMPLES. — La décomposition de f(D) en facteurs se faisant par. la formule (3), celle de 1 : /(D) en fractions simples se fera par la formule
A ns 4 B
(4) fo) HDI Fe jas r) AR CE (D T DS 1410
où À; AT MB)# sont désiconstintes réellesl'ou/imaginaires,
que nous avons appris à calculer (Tome I, n* 95 et 96). Keprésentons par
JD) 10) 10) CODE CD ET RD Er
les polynomes respectivement obtenus en supprimant dans { (D) un facteur (D — r), deux facteurs (D — r),... un facteur (D — 5), etc., et mettons l’identité (4) sous la forme
Ac a JD) sou
