ÉQUATIONS LINÉAIRES À COEFFICIENTS CONSTANTS

185. Intégration des équations simples sans second membre. — Soit l’équation d'ordre 7

Multiplions-la par e-"*, qui n’est ni nul ni imfini, puis translormons-la par la formule (6); elle devient

D'.e-rx RENE

Donc lintéoration est immédiate, e7/7 y est un polynome arbi- (®) 2 se È

traire de degré À — 1. Soit P;, ce polynome; il contient x con-

stantes arbitraires, qui sont ses coefhcients : Rire — qe + x un EoX + .. + Cox .

L’intéorale générale de Péquation (7) sera HS Den Et.

C’est bien la somme de À intégrales particulières multipliées

respectivement par des constantes C.

186. Intégration de l'équation linéaire à coefficients constants et sans second membre dans le cas général. —

Cette équation est de la forme (8) JO) y = 0.

Son intégration revient à la résolution algébrique de l’équation

caractéristique HD)= DE "a DRE a 0,

ou, ce qui revient au même, à la décomposition de /(D) en ses

facteurs linéaires :

, ) à A HD) (DES DER ER ID The

L'intégrale générale est égale à la somme des intégrales géné-

rales de chacune des équations simples :

CD En 0, DE = 0). 7 (D — y 0:

PT A TN VOLE DEAR DEEE: EPL AE EN PR Là. # AN PRE ‘ : AENTEE (Avr #

et on peut l’écrire immédiatement. Ce sera, sauf une transforma-

tion indiquée dans le n° suivant s’il y a des racines imaginaires, Pop a sa tx (TO) RUE TARN Er ER Qi A COR NS PE A

P, Q,... R désignant des polynomes en x de degrés marqués par

l'indice et dont les coefficients sont les constantes arbitraires de

l'intégrale.

Démonstration. — L'ordre des facteurs (D — F) HD ARTE qui entrent dans /(D) étant indifférent, l'équation {(D) y = 0 peut s’écrire en faisant figurer à volonté l’un quelconque de ces facteurs immédiatement devant y. Donc les intégrales des équations (9) sont des solutions particulières de l'équation (8) et l’expression (10), qui est leur somme, est une intégrale plus générale de cette équation, mais, de plus, ce sera l'intégrale générale, car nous allons montrer que, réciproquement, toute intégrale de l'équation (8) est de la forme (10).

A cet effet, isolons successivement, dans f(D), les divers facteurs (D — r), (D —r)",... (D — 5), L’équation f(D) y — 0 s’écrira

sous les formes

D] 2. :|-0. (De he f\ Te » |- —0,.… D-9[ 2) ;]-0...

Chacune de ces équations devient une équation simple sans second membre en prenant la quantité encore crochets comme

inconnue ; 1] vient, en les intégrant,

les polynomes P étant de degrés < %, les polynomes Q de degrés < 4... Multiplhions respectivement ces équations par les constantes APE

simples et ajoutons-les. Il vient, par Pidentité (5) établie au n° 182,

ÿ = e"ESAP + es SBO + …

Comme EAQ, 2BQ,... sont respectivement des polynomes de