Bit. de la décompokition de 1. (D) Emtrictions
degré moindre que x, moindre que 4, cette expression est de la
forme (10).
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REMARQUE. — L'expression (10) renferme x + & + ... = n constantes arbitraires, qui sont les coefhcients des polynomes P, Q,... On reconnaît ainsi, conformément aux théorèmes généraux, que
La LA
l’intégrale générale de l’équation sans second membre est la somme de 7 intégrales particulières multipliées par des constantes arbitraires. Ces intégrales particulières sont donc linéairement indépendantes, sinon elles ne fourniraient pas l'intégrale générale. On en conclut que sir, s,... sont des constantes différentes (réelles où non), l'identité
REA GE EN CPR EEE RSC = 0)
ne peut avoir lieu que si les polynomes P, Q ,... sont identiquement
nuls (*).
187. Cas des racines imaginaires. - Quand les racines r,s,... ne sont pas toutes réelles, l’intégrale trouvée contient des imaginaires, mais elle subsiste, car les règles de dérivation des exponentielles ne sont pas changées. On peut, par une transformation, lui restituer la forme réelle.
Nous supposons ici que (D) est un polynome à coeflicients réels, de sorte que ses racines imaginaires sont conjuguées deux à Tes otn tn A 0tet sc CAlun, couple dé\ritcines conju-
guées de lPordre x de multiplicité. Les termes correspondants de
(*) Il est facile de prouver directement ce théorème. Admettons, par impossible, que cette identité ait lieu pour les valeurs réelles de x, un coefficient au moins de chaque polynome n'étant pas nul. D'abord Pidentité subsiste pour les valeurs imaginaires (car son premier membre est alors une somme de séries potentielles qui se détruisent). Soit r celle des quantités 7, s,... qui a le plus grand module, ou l’une d’elles s’il y a plusieurs modules égaux. Remplaçons x par x: r et faisons tendre x vers linfini positif. Après cette substitution (qui n’altère pas nos hypothèses sur les polynomes P, Q,...), Pidentité prend la forme
Pet He LH, —0.
Mais les coefficients —,... différent tous de 1 et ont tous des modules < 1 par 12 )
hypothèse, ce qui exige que /eurs parties réelles soient loules 1. Donc, pour x infini positif, le premier terme Pex est d'ordre supérieur à tous les autres et
. l'identité est impossible.
la formule (10) peuvent s’écrire, en désignant par P et Q deux
polynomes arbitraires de degré (4 — 7),
PETER OP es MOpare à}
Or:
Remplacons PT par cos Bx 21 sin Bx, ePiT par cos pre
1 sin 5X; l’ensemble des termes considérés se met sous la forme ex [(P.+ Q) cos Bx EP — Q) sin 8x] ou plus simplement, (11) ex[P; cos Bx + O2, sin 6x],
car on peut considérer P + Q et : (P — Q ) comme deux polynomes réels arbitraires P;, et Q,, de degré À — 71. Il suflit, en effet, pour cela, que les deux polynomes P et Q soient conjugués.
Les termes de l’intégrale qui correspondent aux racines conjuguées r et s s’écriront donc sous la forme (11) et l’on opérera de mème pour les autres couples de racines conjuguées s’il y en a.
En particulier, si les racines conjuguées r et s sont simples, les
termes correspondants de l’intégrale générale seront (12) etx[C, ços 6x + C, sin Ex] ou, ce qui revient au même, Ceëx cos (EX + C'),
C et C” désignant deux nouvelles constantes, liées aux premières par
les rélatons Cie COCO ER UE PE
188. Exemples. — I. Les deux équations (D?+ D +6); =0, (DEEE DEAN) ont pour caractéristiques (D + 2)(D + 3) = 0, (D — 1} = 0, et pour intégrales VERGER CIE GT Er ECTS Il. Soit l’équation (D' + 8D° + r6)y =
