RÉDUCTION DE PLUSIEURS QUADRATURES SUCCESSIVES A UNE SEULE

INTÉGRALE DÉFINIE. —— Considérons l'équation différentielle } FR (3) D dx), Vol. IL. 14

210 CHAPITRE Vi. ÉQUATIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR

= = 12 = EN" 0 De — ADS eu nee

(4) un = \| “ \20) dx”.

On vérifie directement qu’on oblient une intégrale particulière par

la formule, déjà signalée (n° 164),

(5) a = DT in dr

où x, est une constante arbitraire.

En effet, si l’on dérive d’abord (4 — 1) fois de suite par la règle de Leibniz complétée (n° 20), le terme provenant de la variation de la limite supérieure est nul chaque fois (la fonction sous le signe / s’annulant à cette limite), et il sufht de dériver sous le

signe, ce qui donne

Enfin, en dérivant une fois de plus, il vient D} 1 — UCX).

Si l’on fait maintenant (x) = 6e" .{x), on trouve la solution

particulière + À 2] À % Du \ \e \e EE =\ 5 ele v v + Es .

On obtient donc une intégrale particulière de léquation com-

plète (x) par la formule pratique :

pe =. ET D ene-0 off) dt.

REPRÉSENTATION SYMBOLIQUE DE L'INTÉGRALE. — Il ‘sera com-

mode de représenter l’intégrale générale de Péquation (D — r})’ HAS

__. pCx) mon)

qu'on obtient en résolvant l’équation par rapport à y comme si

par le symbole

(D — 7») était une quantité. Nous allons voir l'utilité de cette con-

vention dans le n° suivant.

RS CPE CORP RME ut ne TU TES PT NN RO VA ane À. Pet SE * \ à » M -

ÉQUATIONS LINÉAIRÉS A COEFFICIENTS:CONSTANTS. - 2h1I

190. Intégration des équations linéaires complètes à coefficients constants dans le cas général. - Comme l'intéorale de l'équation sans second membre est connue, cette intégration se ramène à des quadratures d’après un théorème général

Soit donc à intégrer équation

(7) 1D)y = pCX): |

Nous allons montrer que le problème de réduire celle intégration à des quadratures revient à décomposer 1 : f(D) en une somme de fractions simples. |

Supposons, en eflet, que l’on connaisse la décomposition de {(D) eHiacteurs. : uen