AD) = (D — 7) (D

et celle de 1 : f(D) en fractions simples

I nn | À B, FD) — ne LA DA ID RE Isolons successivement de (D) les divers facteurs (D — r), (Dr) END)" L'équation à intésrer s'écrird sous! les

diverses formes

(D — 2 = 3 Cr

Chacune de ces équations est une équation simple avec second

pHAo Re

membre quand on prend la quantité entre crochets comme inconnue. Il vient, en les intégrant et en utilisant la représentation symbolique

indiquée à la fin du n° précédent,

HODie Pa 1(D) ? 1099 MORE

(U nr CN dE SUP RM À NRÉRSARE ARUE A! =

Dre (4) y CDR NAN DESERT) SU

10 Ie ces équations par les constantes A,,

Nr DhE den décomposition de 1 : f(D) en fractions simples et ajoutons, il vient, par l’identité (5) du n° 182, ; | À; LES A,® : À Fe 4 JE , +5 B,?

e D —s; (D --7) (Dr) CES

Cette formule s’obtient, tout simplement, en remplaçant dans la

relation = 70) ©)

1 : f(D) par son développement en une somme de fractions simples et c’est la formule de réduction de l'intégrale cherchée à des intégrales d'équations simples, donc à des quadratures.

D’après notre raisonnement, toute intégrale j rentre dans la formule précédente. Mais les constantes d’intégration restent arbitraires, car, en réunissant les termes qui renferment ces constantes, on forme l'intégrale générale de l’équation sans second membre.

Pratiquement, pour obtenir l’intégrale générale y, on remplacera chaque terme de la formule (8) par l'intégrale particulière correspondante fournie par la formule (6), puis on ajoutera l'intégrale de équation sans second membre.

Si les racines r, 5,... ne sont pas loules réelles, la solution sera, en apparence, compliquée de coeflicients et d’exponentielles imaginaires, mais ces imaginaires disparaitront d’elles-mêmes par laddition des termes conjugués, ainsi que nous l'avons vérifié pour équation sans second membre.

CAS PARTICULIER. — Si foutes les racines f(D) sont simples, la décomposition en fractions se fait par la formule connue (t. 1°,

n° 97) et la formule d'intégration devient

OMC EAN ETS

Remplaçons chaque terme de cette formule par l'intégrale particulière (6) du n° 189 et ajoutons lintégrale générale Y de Péquation

sans second membre, nous obtenons l’intégrale

(9), y + | 15 G + a a AO

Exemple. — Soit à intégrer l'équation

(D° + &°)y = (D +.ui) D — m)y = (x).

TR MR PU EL Te MAS M ONE RE EG he RS Se PE T Lex, d x É À LA j «Y = n \ ' : &

: ÉQUATIONS LINÉAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS 213 Des racines sont n = ms — +- ar ét lon a f (D) = 2D faisons X, = 0 dans la formule (9), elle nous donne de à CE .

eai(æ—t) Eee e—aix—t) y=Y +| 6 c(E) dt.

a 241 Remplaçons encore Ÿ par sa valeur, nous obtenons l’intégrale [ fu ECO NEEDS et =\ (4) sin a(x — À) di.

191. Intégration de l’équation complète par la détermination directe d’une intégrale particulière. — Quand on

trouve facilement une intégrale particulière de Péquation complète JD)y = 4x),

l'intégrale générale s’obtient le plus facilement en ajoutant à celle-Ki l'intégrale générale de l'équation sans second membre. Nous allons examiner les principales formes de &(x) pour lesquelles on trouve directement une intégrale particulière.

PREMIER CAS. (x) est un polynome P, de degré k. L'équation

est donc de la forme 1@)y 4 Pi

Si f(D) n’a pas de racine nulle, l'équation admet comme solution particulière un polynome déterminé de degré k; si f(D) a x racines nulles, l'équation admet une solution particulière de a forme x? Q, où Q, est encore un polynome déterminé de degré k.

Ces polynomes peuvent s’obtenir par la méthode des coefficients indéterminés, ou par le procédé suivant, qui nous servira de démonstration.

En premier lieu, si /(D) n’a pas de racine nulle, on peut développer 1 : /(D) suivant les puissances de D par la formule de Maclaurin, Arrêtons-nous après le terme d’ordre #; nous aurons,

| M désignant un polynome en D (t. 1*, n° 79), Haas = b + b, D + Le + bi D? + DE*1 pen De | FO)

1 — f{D)(b, + BD + … + b,D*) + MDEKL.

d’où

PR n 1e”

PNR ORNE RO EP PO EN TP A RON TT EE « L 71 NA à CE : n°1 L te Dr TYS np. PACS, hs

Le second membre définit donc une opération d’effet nul ; eflec-

tuons-la sur P,, en observant que D“*IP, — 0; il vient JD) TG + 8,D +. + P,] = Pr.

Donc, si f(D) n’a pas de racine nulle, on obtient une solution parti-

En

culière en faisant la somme des lermes de degrés < k dans le développement de 1 : f (D) suivant les puissances de D, et en effectuant sur P, l'opération représentée par celle somme. Le résullat sera un polynome de degré k.

En second lieu, si f(D) a x racines nulles, observons que lon a f(D) — D’ f(D), mettons l’équation sous la forme