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Mais légalité seule est possible, car le premier membre est inférieur au second quel que soit #1.

Enfin, si les limites a et » sont infinies, par exemple toutes les deux, on a, quel que soit N positif, d’après ce qu’on vient de prouver, ? +do as PHN lim \ Pre Si im LAN dx Vi Rose Ce N Ce NN

et 1l suflit de faire tendre N vers linfini pour démontrer la proposi-

tion, comme dans le cas précédent.

15. Intégrales doubles généralisées.. — On suppose que les points de discontinuité de la fonction f(x, }) à intégrer sont isolés ou répartis sur certaines lignes de discontinuité satisfaisant aux conditions stipulées dans le premier volume (n° 270). Par contre, la fonction ou le domaine d’intégration n’est plus supposé borné. On

50 CHAPITRE I. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉÉS

appelle points singuliers ceux autour desquels la fonction n’est pas bornée.

FONCTIONS NON NÉGATIVES. -— En premier lieu, si le domaine D est borné et limité par un contour C satisfaisant aux conditions déjà rappelées, pour définir l’intégrale d’une fonction f(x, y) non négative,

\\ JC, y) dx dy,

on procède à peu près comme pour les intégrales simples. On commence par enlever les points singuliers du champ d'intégration. À cet eflet, on entoure les points singuliers isolés d’un contour infiniment petit, on enferme les lignes de discontinuité entre deux contours infiniment voisins, et l’on considère la portion D’ de l'aire D qui est extérieure aux contours auxiliaires. L'intégrale étendue à D’ étant une intégrale proprement dite, on pose, par définition,

\| PONT in \| f(x, y) dx dy.

Si cette limite est finie, l'intégrale généralisée existe. Il suffit évidemment pour cela, f étant positif, que le second membre soit borné quand D’ tend vers D, et alors sa limite est indépendante de la manière dont D’ tend vers D. Si lintégrale n'existe pas, elle est infinie positive. |

En second lieu, si le champ d'intégration s'étend à l’infini dans certaines directions ou dans tous les sens, on procède d’une manière analogue. On considère d’abord Pintégrale (généralisée ou non) dans une portion bornée D’ de l'aire D, puis on étend successivement D” à D tout entier : l’intégrale dans D est la limite (finie ou infinie) de celle dans D’. Cette limite sera d’ailleurs indépendante de la manière dont D’ tend vers D; et, si D s'étend à. linfini dans plusieurs directions, D” peut croître à l’infini soit simultanément soit successivement dans les divers sens. |

Le cas des fonctions non positives se ramène à celui-ci par un

simple changement de signe ; il n’y a pas lieu de s’y arrêter.