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que nous appellerons équation de Bessel (*).
195. Théorème. — L’équation de Bessel ne change pas de forme par la substitution
re, Pon seulement n change de sione dans l'équation.
En dérivant cette formule, il vient
se 1)z
dy LA NINTSTENdE) Pc dz 2H dz n DNS TN ERA TO AE TR RU EEE RAR AE
et, par la substitution de ces valeurs, l'équation de Bessel devient
d°z dz | — — ER PE) (3) AX° “ QG 1) dx b
(*) On prend souvent aussi comme forme canonique de l’équation'de Bessel les équations (xt) du n° 200 ou encore d’autres transformées que nous ne rencontrerons pas ici.
ete Ÿ 4 2 NA. der
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A lens A <P Aoier de dr 6 LRO ET D AS ES A dr A DER NE RSS ÉQUATION DE BESSEL VRAIS REMARQUES. —- [. Si X est négatif, la substitution précédente peut
être imaginaire, mais la substitution
ES sera réelle et conduira à la même équation (3), car la nouvelle valeur de 7 ne diffère de la précédente que par un facteur constant. On peut donc toujours éviter l'introduction des imaginaires.
IL. Il résulte du théorème précédent que, dans Pétude de léquation de Bessel, il sera toujours permis de supposer 7 nul ou positif, car, si % était négatif, on le rendrait positif par la substitution
précédente.
196. Intégration de l’équation de Bessel quand 7 n’est pas un nombre entier. -- Dans ce cas, l’intégrale générale s'exprime par les fonctions de Bessel.
En effet, [, est une première intégrale particulière de léquation (2); [, est une intégrale particulière de l'équation (3), donc Joey teG Stan seconde intégrale particulière de léquation (2) et elle est évidemment indépendante de la première, parce qu’elle renferme des puissances fractionnaires. L'intégrale générale de équation (2) sera donc
(4) no El vu C; si
Si X était négatif et qu’on voulüt éviter l'introduction des imaginaires, on remplacerait au besoin le dénominateur x” par (—- x)".
REMARQUE. — Si 1 est entier, une des deux séries [, ou [, cesse d'exister, car tous ses coefhcients deviennent infinis à partir d’un certain rang. Mais il v a toujours une des deux séries et, par conséquent, une des deux intégrales particulières qui subsiste. Dans ce cas, l'intégration se ramène aux quadratures par les théorèmes généraux (n° 165). TR
Supposons que 7 soit positif; c’est alors l’intégrale particulière I, qui subsiste, et la formule d'intégration sera (n° 165)
Fu (CEE Mine
Mais cette intégrale peut encore s’exprimer par des séries potentielles, moins simples toutefois que celles de Bessel. Nous allons
les faire connaitre.
197. Nouvelles séries liées à celle de Bessel. — En dérivant [, par rapport à #, on forme une nouvelle série potentielle, convergente pour toutes les valeurs de x et à coefhcients rationnels. Nous la désignerons par l”, et l’on aura, 4, étant défini par la
formule (1),
: (2) TP DRE Nr EN QUES DATES (5) sr l ÈS P Phit À
A Considérons, d’autre part, la série potentielle, dépendant de deux
paramètres < et 72,
Se Le | À ANUS a ee (a+ 1)(n+2)(e+1)(s +2)
laquelle se réduit à [, pour : — 0.
Celle-ci peut être dérivée par rapport à < et l’on trouve, pour
ce — 0, la série potentielle à coefficients rationnels
| Fe Re (GI AS EN MAUR Die, b, = —4d, 2 I 1 À
Nous allons montrer que, quand # est entier, l'intégration de
Péquation de Bessel se fait au moyen des séries (1), (5) et (6).
198. Intégration de l’équation de Bessel quand 7 est nul. — Dans ce cas, les deux séries [, et [, se confondent. Nous avons toujours une intégrale particulière I,. Il s’agit d’en obtenir une seconde.
À cet eflet, considérons d’abord léquation dans laquelle # est une quantité positive infiniment petite :. Nous avons les deux intégrales distinctes I, et 1, : x°. Mais nous pouvons remplacer la seconde
par la combinaison linéaire
I 1% Xe L Res Lee © Ne NIUE
ÉQUATION DE BÉSSÉL 22
Quand : tend vers O, celle-ci a une limite finie Y,, qui s'obtient
par la règle de l'Hospital :
CLAUNTSEST LT s Es Ts x] le Loc Ie = |) 2
Cette nouvelle intégrale Y, s'exprime donc au moyen de la fonc-
tion de Bessel I, et de la série (5) 1”. Elle est évidemment distincte
de I, puisqu'elle renferme un logarithme. L'intégrale générale sera ni —= CF + (BEÈ UE
REMARQUE. — On a admis, dans cette démonstration, que la limite d’une intégrale de l'équation de Bessel où 7 tend vers 0, est une intégrale de cette équation pour # — 0. Ce postulat est une conséquence des propositions énoncées au n° 133. Nous ferons
usage, dans. le n° suivant, d’un postulat analogue, fondé sur les
mêmes propositions.
199. Intégration de l'équation de Bessel quand » est entier et > O0. — Si n est un entier différent de O, on peut le supposer positif (n° 195). Dans ce cas, la série T, cesse d'exister, mais l’intéorale particulière [, subsiste toujours. Il s’agit d’en obtenir une seconde.
Remplaçons d’abord 7% par n — 2: (< étant infiniment petit). Les n premiers termes de [,,: ne renferment pas le facteur : au dénominateur et sont, par conséquent, finis : nous désignerons leur somme par N,. Tous les termes suivants, au contraire, sont infinis et ils renferment un facteur commun indépendant de *, que nous
désionerons par À, : :, en posant
2 Ce ÀÇ — ACTE COTE RER ET ET e
Considérons donc le produit < 1, ; il peut, eu égard à la défini-
s LE am
tion (n° 197) de (x, 7, <), se mettre sous la forme suivante
(8) lin ENS REA A ENT €):
Donc, +: tendant vers O0, on a, à la limite, + tendant alors vers L,;
ea re Role VD a (9) CELAR LA AGD 1e mu 1! (n LR 1) ds
Tant que s n’est pas nul, I :: ét =<I : N°T£ sont deux intéorales — € £ D
AU nr indépendantes de l’équation de Bessel, mais elles cessent d’être distinctes pour : — 0, en vertu de l'équation (9). Pour en obtenir une nouvelle, considérons la combinaison linéaire (qui est aussi une
intégrale)
à EN NM —E ÉLRRNES JAN EU ALE UE
et cherchons-en la limite pour s — 0. C’est une expression de la
forme 0 : Ü; en vertu de la règle de l’'Hospital, sa valeur pour
ste (lisera | Deere AE el Mais, pour : = 0, il vient, par la formule (8), Dr RELI )E NE ET ARE CO AO TEEN EUR pus
de sorte que la limite cherchée a pour expression
NE
ne + Ale.Cx, IT, 0) SE 1 at in Log, x] mu AL: <=
Supprimant le dernier terme qui n'est pas distinct dé [,, nous
formons notre seconde intéorale particulière Y.. à savoir F D 11 2
MONENRES a + As ,(x, 1, 0) + T', + I, Log x].
Celle-ci s'exprime donc au moyen des trois séries potentielles I, lets", (x, 2, 0); la première est la fonction de Bessel, et les deux autres sont définies par les formules (5) et (6). Le coeflicient A, est une constante (9) et enfin, par définition de N, , N, comprend les 7 premiers termes de [,, de sorte que
N ON C4 C4 mo Ére nn ET a D a er POLE NE ee pl(n—1)(u—2)...(n—p)
A di t w,
ÉQUATION DÉ BÉSSEL 393
L'intégrale générale de l’équation de Bessel sera donc, dans ce
Cas-Ci,
Me GTS EE NS
