Transformées de l’équation de Bessel. Equation de

Riccati. — Changeons de variable indépendante par la relation x — s(1). En accentuant-les dérivées par rapport à f, ona

dy Sy TE ei CN TE

TE NIED LE à va ;

équation de Bessel

«y dx

d°y ” X = + (1 +) Nul à AX° :

devient ainsi, après multiplication par x”,

RDS L'E E 2 QUE +( D NE or 5 NU OS

Voici quelques cas particuliers de cette transformation générale : 1° Quel que soit le signe de X, on peut toujours faire, sans

introduire d’imaginaires, une des deux substitutions

tt fes Ÿ t \ l se I NOR ET, d Er qu rt Ut ZE — A 2 \ 2 \ l L’équation transformée sera Pi LR Ont CRT EE (x) Tu Ce er)

2° Plus généralement, faisons la substitution

9 » A , Dee À Metal d’où X — api” k x’ se

L'équation transformée sera tou Le (87 Me 1) ty — ab y tr

On peut disposer des trois constantes x, & et 7 de manière à

identifier cette équation avec toute équation de la forme

29" + dy + y O0, pourvu toutefois que b et #1 soient différents de O, car la substitution suppose + et & différents de O. Mais, si #7 — 0 ou si b — 0,

cette dernière équation est une équation d’Euler (n° 193).

D [ee ex

Les équations de cette dernière forme sont fréquentes dans les

applications. Elles s’intégreront donc par les formules des n° précédents, en remplaçant X par une expression convenable de la forme «P .

3° La transformée d'Euler de l'équation (particulière) de Riccati

(n° 145) s'obtient comme cas particulier de la transformation

précédente.

Si lon fait # = 1:89 et qu'on change « en à : $?, on Voit que Péquation de Bessel se ramène à : 0 SET 21?

y ne NE D; "par a Substtnton ere à

Faisons $ — m1 + 2. On voit que léquation de Bessel où n ==

Î \ à! LA cé ee, 2 . . à HU se ramène à l’éguation transformée de Riccati (n° 145) : ni

L 1 . alt?

(12) 3 — ay = 0, par la substitution x

D'où, les conclusions suivantes :

Si m + 2 n’est pas l’inverse d’un entier, l'équation (t2) s'intègre par les transcendantes I, et [A en faisant # == 1 : (in 4 2) et°en remplaçant X par la fonction de ? qui précède.

Si m + 2 est l'inverse d’un nombre entier, l’intégration exigera l'intervention des séries plus compliquées du n° 197.

Sim + 2 — 0, l’équation (12) se réduit à une équation d’Euler (n° 193) et s'intègre sans difficulté.

On verra, au n° suivant, que, quand 7 : (1 —- 2) est un nombre pair, l'équation (12) s’intèere sous forme finie.

2o1. Intégration de l’équation de Bessel sous forme finie. — L’équation de Bessel s'intègre sous forme finie si n + —

NE est un nombre entier (positif, nul ou négatif). Fee I Supposons, ce qui est permis, # positif (n° 195). Sin + est

entier, c'est un entier positit p. Alors, par lPune des substitutions

l r ° A A 2: f , x — =: —, lPéquation de Bessel se ramène à l’une des deux équa-

tions (11) | (13) MEL y +y=0.

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